Question

（2006•昆明）如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，平行四邊形OABC的邊OA在x軸上，∠B=60°，OA=6，OC=4，D是BC的中點，延長AD交OC的延長線于點E．
（1）畫出△ECD關于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E₁CD，并求出點E₁的坐標；
（2）求經(jīng)過C、E₁、B三點的拋物線的函數(shù)表達式；
（3）請?zhí)角蠼?jīng)過C、E₁、B三點的拋物線上是否存在點P，使以點P、B、C為頂點的三角形與△ECD相似？若存在這樣的點P，請求出點P的坐標；若不存在這樣的點P，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲畫△ECD關于邊CD所在直線為對稱軸的對稱圖形△E₁CD，由CD不變，知關鍵是確定E₁點，可過點E作對稱軸CD的垂線，垂足為F，延長EF到E₁，使E₁F=EF．則點E₁就是點E關于CD所在直線的對稱點；
（2）由（1）求得E₁坐標，再求拋物線的函數(shù)表達式，可通過待定系數(shù)法，利用已知條件求解；
（3）問題較難，根據(jù)兩個三角形相似的條件，需要分情況討論P在不同位置時的情況．
解答：解：（1）過點E作EE₁⊥CD交BC于F點，交x軸于E₁點，
則E₁點為E的對稱點．連接DE₁、CE₁，則△CE₁D為所畫的三角形，
∵△CED∽△OEA，，∴，
∵EF、EE₁分別是△CED、△OEA的對應高，
∴=，
∴EF=EE₁，
∴F是EE₁的中點，
∴E點關于CD的對稱點是E₁點，△CE₁D為△CED關于CD的對稱圖形，
在Rt△EOE₁，OE₁=cos60°×EO=×8=4，
∴E₁點的坐標為（4，0）；

（2）∵平行四邊形OABC的高為h=sin60°×4=2，
過C作CG⊥OA于G，則OG=2，
∴C、B點的坐標分別為（2，2），（8，2），
∵拋物線過C、B兩點，且CB∥x軸，C、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴拋物線的對稱軸方程為x=5，
又∵拋物線經(jīng)過E₁（4，0），
則拋物線與x軸的另一個交點為A（6，0），
∴可設拋物線為y=a（x-4）（x-6），
∵點C（2，2）在拋物線上，
∴2=a（2-4）（2-6），
解得a=，
∴y=（x-4）（x-6）=x²-x+6；

（3）根據(jù)兩個三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個角為60°，
下面進行分類討論：
①當P點直線CB的上方時，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB為鈍角三角形，
又∵△ECD為銳角三角形，
∴△ECD與△CPB不相似．
從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點P使△CPB與△ECD相似；
②當P點在直線CB上時，點P與C點或B點重合，不能構成三角形，
∴在直線CB上不存在滿足條件的P點；
③當P點在直線CB的下方時，若∠BCP=60°，則P點與E₁點重合，
此時，∠ECD=∠BCE₁，而，
∴，
∴△BCE與△ECD不相似，
若∠CBP=60°，則P點與A點重合，
根據(jù)拋物線的對稱性，同理可證△BCA與△CED不相似，
若∠CPB=60°，假設拋物線上存在點P使△CPB與△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=2，F(xiàn)D=1，
∴ED==，
設△ECD的邊DE上的高為h₁，則有h₁×ED=EF×CD，
∴h₁=EF×CD÷ED=2×3÷=6÷=，
設△CPB的邊BC上的高為h₂，△CPB與△ECD相似，
∵，
解得h₂=×h₁=×=，
∵拋物線的頂點坐標為（5，-），
∴拋物線的頂點到直線BC的距離d=|-|+2=，
∵h₂＞d，
∴所求P點到直線BC的距離大于拋物線的頂點到直線BC的距離，
從而使△CPB與△ECD相似的點P不會在拋物線上，
∴在直線CB下方不存在拋物線上的點P使△CPB與△ECD相似．
綜上所述，拋物線上不存在點P使點P、B、C為頂點的三角形與△ECD相似．
點評：（1）考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)．
基本作法：①先確定圖形的關鍵點；
②利用軸對稱性質(zhì)作出關鍵點的對稱點；
③按原圖形中的方式順次連接對稱點．
（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．
（3）是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點P所在位置的各種情況．