Question

（2012•蘇州）如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=

1

x

圖象的一個分支，第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=-

2

x

圖象的一個分支，在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點A、B，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D．若四邊形ABCD的周長為8且AB＜AC，則點A的坐標為

（

1

3

，3）

．

Answer 1

分析：設(shè)A點坐標為（a，

1

a

），利用AB平行于x軸，點B的縱坐標為

1

a

，而點B在反比例函數(shù)y=-

2

x

圖象上，易得B點坐標為（-2a，

1

a

），則AB=a-（-2a）=3a，AC=

1

a

，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到
AB+AC=4，即3a+

1

a

=4，則3a²-4a+1=0，用因式分解法解得a₁=

1

3

，a₂=1，而AB＜AC，則a=

1

3

，即可寫出A點坐標．

解答：解：點A在反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上，設(shè)A點坐標為（a，

1

a

），
∵AB平行于x軸，
∴點B的縱坐標為

1

a

，
而點B在反比例函數(shù)y=-

2

x

圖象上，
∴B點的橫坐標=-2×a=-2a，即B點坐標為（-2a，

1

a

），
∴AB=a-（-2a）=3a，AC=

1

a

，
∵四邊形ABCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形，
∴AB+AC=4，即3a+

1

a

=4，
整理得，3a²-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，
∴a₁=

1

3

，a₂=1，
而AB＜AC，
∴a=

1

3

，
∴A點坐標為（

1

3

，3）．
故答案為（

1

3

，3）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；利用矩形對邊相等的性質(zhì)建立方程以及用因式分解法解一元二次方程．