【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=2,OC=1,矩形對角線AC、OB相交于E,過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H.
(1)直接寫出點E的坐標(biāo): .
(2)求證:AG=CH.
(3)如圖2,以O(shè)為圓心,OC為半徑的圓弧交OA與D,若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點F,求直線GH的函數(shù)關(guān)系式.
(4)在(3)的結(jié)論下,梯形ABHG的內(nèi)部有一點P,當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時,求⊙P的半徑.
【答案】
(1)(1, )
(2)解:證明:∵矩形OABC,
∴CE=AE,BC∥OA,
∴∠HCE=∠EAG,
∵在△CHE和△AGE中
,
∴△CHE≌△AGE,
∴AG=CH
(3)解:解:如圖2,連接DE并延長DE交CB于M,連接AC,
∵DO=OC=1= OA,
∴D是OA的中點,
∵BC∥OA,
∴∠MCE=∠DAE,
∵在△CME和△ADE中
,
∴△CME≌△ADE,
∴CM=AD=2﹣1=1,
∵四邊形OABC是矩形,
∴∠MCO=∠COD=90°,CB∥OA,
∵OD=1,OA=2,
∴OD=AD,
∵矩形OABC的對角線交于E,
∴E為中心,
∴DE∥OC,
∴四邊形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵HG切⊙O于F,E(1, ),
∴可設(shè)CH=HF=x,F(xiàn)E=ED= MD,
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,
即(1﹣x)2+( )2=( +x)2,
解得x= ,
∴H( ,1),OG=2﹣ = ,
∴G( ,0),
設(shè)直線GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐標(biāo)代入得: k+b=0,且1= k+b,
解得:k=﹣ ,b= ,
∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣ x+
(4)解:解:如備用圖3,連接BG,過P做PN⊥GA,垂足為N,
∵在△OCH和△BAG中
,
∴△OCH≌△BAG,
∴∠CHO=∠AGB,
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,
∴OH平分∠CHF,
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∵四邊形OCBA是矩形,
∴BC∥OA,BC=OA,
∵CH=AG(已證),
∴BH=OG,BH∥OG,
∴四邊形BHOG是平行四邊形,
∴OH∥BG,
∴∠OHE=∠BGE,
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
∴∠BGA=∠BGE,
即BG平分∠FGA,
∵⊙P與HG、GA、AB都相切,
∴和∠HGA的兩邊都相切的圓的圓心在∠HGA的角平分線上,即在GB上
∴圓心P必在BG上,
∴△GPN∽△GBA,
∴ ,
設(shè)半徑為r,
= ,
解得:r= .
答:⊙P的半徑是
【解析】(1)解:E的坐標(biāo)是:(1, ), 所以答案是:(1, );
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對矩形的性質(zhì)的理解,了解矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,田亮同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分,發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小,能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是( 。
A.垂線段最短
B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
C.經(jīng)過兩點,有且僅有一條直線
D.兩點之間,線段最短
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某飲料廠以300千克的A種果汁和240千克的B種果汁為原料,配制生產(chǎn)甲、乙兩種新型飲料,已知每千克甲種飲料含0.6千克A種果汁,含0.3千克B種果汁;每千克乙種飲料含0.2千克A種果汁,含0.4千克B種果汁.飲料廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種新型飲料共650千克,設(shè)該廠生產(chǎn)甲種飲料x(千克).
(1)列出滿足題意的關(guān)于x的不等式組,并求出x的取值范圍;
(2)已知該飲料廠的甲種飲料銷售價是每1千克3元,乙種飲料銷售價是每1千克4元,那么該飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種飲料各多少千克,才能使得這批飲料銷售總金額最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4,把y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”,其中t是不為零的實數(shù),其圖象記作拋物線E.現(xiàn)有點A(2,0)和拋物線E上的點B(﹣1,n),請完成下列任務(wù):
(1)當(dāng)t=2時,拋物線E的頂點坐標(biāo)是;
(2)判斷點A是否在拋物線E上;
(3)求n的值.
(4)通過(2)和(3)的演算可知,對于t取任何不為零的實數(shù),拋物線E總過定點,這個定點的坐標(biāo)是 .
(5)二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎?如果是,求出t的值;如果不是,說明理由.
(6)以AB為一邊作矩形ABCD,使得其中一個頂點落在y軸上,若拋物線E經(jīng)過點A、B、C、D中的三點,求出所有符合條件的t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】揚州市中小學(xué)全面開展“體藝2+1”活動,某校根據(jù)學(xué)校實際,決定開設(shè)A:籃球,B:乒乓球,C:聲樂,D:健美操等四中活動項目,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項目,隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人.
(2)請你將統(tǒng)計圖1補充完整.
(3)統(tǒng)計圖2中D項目對應(yīng)的扇形的圓心角是度.
(4)已知該校學(xué)生2400人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計該校最喜歡乒乓球的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第三十屆夏季奧林匹克運動會將于2012年7月27日至8月12日在英國倫敦舉行,目前正在進行火炬?zhèn)鬟f活動.某校學(xué)生會為了確定近期宣傳?闹黝},想知道學(xué)生對倫敦奧運會火炬?zhèn)鬟f路線的了解程度,決定隨機抽取部分學(xué)生進行一次問卷調(diào)查,并根據(jù)收集到的信息進行了統(tǒng)計,繪制了如圖兩幅上不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有名;
(2)請補全折線統(tǒng)計圖,并求出扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的大小;
(3)若該校共有1200名學(xué)生,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學(xué)生中對倫敦奧運火炬?zhèn)鬟f路線達到了“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過點A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點E,F(xiàn),則DE的長是( 。
A.
B.
C.1
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,半徑OA⊥OB,過點OA的中點C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點,且CD= ,以O(shè)為圓心,OC為半徑作 ,交OB于E點.
(1)求⊙O的半徑OA的長;
(2)計算陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點P是⊙O外一點,連接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2 ,求BC的長.
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