【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,且OA=2,OC=1,矩形對角線AC、OB相交于E,過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H.
(1)直接寫出點E的坐標(biāo):
(2)求證:AG=CH.
(3)如圖2,以O(shè)為圓心,OC為半徑的圓弧交OA與D,若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點F,求直線GH的函數(shù)關(guān)系式.
(4)在(3)的結(jié)論下,梯形ABHG的內(nèi)部有一點P,當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時,求⊙P的半徑.

【答案】
(1)(1,
(2)解:證明:∵矩形OABC,

∴CE=AE,BC∥OA,

∴∠HCE=∠EAG,

∵在△CHE和△AGE中

∴△CHE≌△AGE,

∴AG=CH


(3)解:解:如圖2,連接DE并延長DE交CB于M,連接AC,

∵DO=OC=1= OA,

∴D是OA的中點,

∵BC∥OA,

∴∠MCE=∠DAE,

∵在△CME和△ADE中

∴△CME≌△ADE,

∴CM=AD=2﹣1=1,

∵四邊形OABC是矩形,

∴∠MCO=∠COD=90°,CB∥OA,

∵OD=1,OA=2,

∴OD=AD,

∵矩形OABC的對角線交于E,

∴E為中心,

∴DE∥OC,

∴四邊形CMDO是矩形,

∴MD⊥OD,MD⊥CB,

∴MD切⊙O于D,

∵HG切⊙O于F,E(1, ),

∴可設(shè)CH=HF=x,F(xiàn)E=ED= MD,

在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2

即(1﹣x)2+( 2=( +x)2,

解得x=

∴H( ,1),OG=2﹣ = ,

∴G( ,0),

設(shè)直線GH的解析式是:y=kx+b,

把G、H的坐標(biāo)代入得: k+b=0,且1= k+b,

解得:k=﹣ ,b= ,

∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣ x+


(4)解:解:如備用圖3,連接BG,過P做PN⊥GA,垂足為N,

∵在△OCH和△BAG中

,

∴△OCH≌△BAG,

∴∠CHO=∠AGB,

∵∠HCO=90°,

∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,

∴OH平分∠CHF,

∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,

∵四邊形OCBA是矩形,

∴BC∥OA,BC=OA,

∵CH=AG(已證),

∴BH=OG,BH∥OG,

∴四邊形BHOG是平行四邊形,

∴OH∥BG,

∴∠OHE=∠BGE,

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA

∴∠BGA=∠BGE,

即BG平分∠FGA,

∵⊙P與HG、GA、AB都相切,

∴和∠HGA的兩邊都相切的圓的圓心在∠HGA的角平分線上,即在GB上

∴圓心P必在BG上,

∴△GPN∽△GBA,

,

設(shè)半徑為r,

= ,

解得:r=

答:⊙P的半徑是


【解析】(1)解:E的坐標(biāo)是:(1, ), 所以答案是:(1, );
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對矩形的性質(zhì)的理解,了解矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.

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【題目】如圖,田亮同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分,發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小,能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是( 。
A.垂線段最短
B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線
C.經(jīng)過兩點,有且僅有一條直線
D.兩點之間,線段最短

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(1)列出滿足題意的關(guān)于x的不等式組,并求出x的取值范圍;
(2)已知該飲料廠的甲種飲料銷售價是每1千克3元,乙種飲料銷售價是每1千克4元,那么該飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種飲料各多少千克,才能使得這批飲料銷售總金額最大?

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(1)當(dāng)t=2時,拋物線E的頂點坐標(biāo)是;
(2)判斷點A是否在拋物線E上;
(3)求n的值.
(4)通過(2)和(3)的演算可知,對于t取任何不為零的實數(shù),拋物線E總過定點,這個定點的坐標(biāo)是
(5)二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎?如果是,求出t的值;如果不是,說明理由.
(6)以AB為一邊作矩形ABCD,使得其中一個頂點落在y軸上,若拋物線E經(jīng)過點A、B、C、D中的三點,求出所有符合條件的t的值.

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(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人.
(2)請你將統(tǒng)計圖1補充完整.
(3)統(tǒng)計圖2中D項目對應(yīng)的扇形的圓心角是度.
(4)已知該校學(xué)生2400人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計該校最喜歡乒乓球的學(xué)生人數(shù).

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(2)請補全折線統(tǒng)計圖,并求出扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的大小;
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A.
B.
C.1
D.

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