解:(1)∵拋物線
與y軸交于點A(0,1),B
,
∴
,
解得:
,
∴y=-
x
2+
x+1;
(2)①設直線的解析式是y=kx+b,
∵直線AB過點A(0,1)和B
,
∴
,
解得:
,
∴直線AB的解析式為y=
x+1,
∵PN⊥x軸,交直線AB于點M,交拋物線于點N,OP=m,
∴P(m,0),M(m,
m+1),
∴PM=
m+1;
②根據(jù)拋物線的解析式和P點的坐標可得:N(m,-
m
2+
m+1),MN∥BC,
∴當MN=BC時,四邊形BCMN為平行四邊形,
1、當點P在線段OC上時,MN=-
m
2+
m,
又∵BC=
,
∴-
m
2+
m=
,
解得m
1=1,m
2=2;
2、當點P在線段OC的延長線上時,MN=
m
2-
m,
∴
m
2-
m=
,
解得:m
1=
(不合題意,舍去),m
2=
;
綜上所述,當m的值為1或2或
時,四邊形BCMN是平行四邊形.
分析:(1)根據(jù)拋物線
過點A(0,1),B
,求出c,b的值,即可求出拋物線的解析式;
(2)①先設直線的解析式是y=kx+b,根據(jù)直線AB過點A(0,1)和B
,求出b,k的值,求出直線AB的解析式,再根據(jù)PN⊥x軸,交直線AB于點M,交拋物線于點N,OP=m,
得出P(m,0),M(m,
m+1),即可求出PM的長度;
②根據(jù)拋物線的解析式和P點的坐標得出N(m,-
m
2+
m+1),MN∥BC,再分兩種情況討論,當點P在線段OC上時,當點P在線段OC的延長線上時,求出MN的值,根據(jù)BC=
,得出-
m
2+
m=
,求出m得值,即可得出答案.
點評:此題考查了二次函數(shù)的綜合,在解題時要注意解析式的確定,(2)小題②中,都用到了分類討論的數(shù)學思想,難點在于考慮問題要全面,做到不重不漏.