Question

11．已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是y₁=-ax²-ax+1，y₂=ax²-ax-1（其中a為常數(shù)，且a＞0）．
（1）請(qǐng)寫出三條與上述拋物線有關(guān)的不同類型的結(jié)論；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)y₁=-ax²-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（M在N的左邊），y₂=ax²-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（E在F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫出一個(gè)你所得到的正確結(jié)論，并說明理由；
（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，直線l，l₁，l₂都垂直于x軸，l₁，l₂分別經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，l在直線l₁，l₂之間，且l與兩條拋物線分別將于C，D兩點(diǎn)，求線段CD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給出的拋物線的解析式并且結(jié)合函數(shù)的圖象寫出三條不同的結(jié)論即可；
（2）先將a=$\frac{1}{2}$代入拋物線解析式，分別求得M、N、E、F四點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)四點(diǎn)坐標(biāo)寫出合理的結(jié)論；
（3）根據(jù)題意求出CD關(guān)于x的解析式，然后求出當(dāng)x=0時(shí)，CD的值最大．

解答 解：
（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，或拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上；
②拋物線y₁=-ax²-ax+1的對(duì)稱軸是x=-$\frac{1}{2}$，或拋物線y₂=ax²-ax-1的對(duì)稱軸是x=$\frac{1}{2}$；
③拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過點(diǎn)（0，1），或拋物線y₂=ax²-ax-1經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）；
④拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1的形狀相同，但開口方向相反；
⑤拋物線y₁=-ax²-ax+1與y₂=ax²-ax-1都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
⑥拋物線y₁=-ax²-ax+1經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）或拋物線y₂=ax²-ax-1經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，y₁=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，令0=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+1，
解得x_M=-2，x_N=1．
y₂=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，令0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1，解得x_E=-1，x_F=2．
①∵x_M+x_F=0，x_N+x_E=0，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱；
②∵x_M+x_F+x_N+x_E=0，
∴M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)橫坐標(biāo)的代數(shù)和為0；
③∵M(jìn)N=3，EF=3，
∴MN=EF（或ME=NF）；
（3）∵a＞0，
∴拋物線y₁=-ax²-ax+1開口向下，拋物線y₂=ax²-ax-1開口向上．
根據(jù)題意，得CD=y₁-y₂=（-ax²-ax+1）-（ax²-ax-1）=-2ax²+2．
∴當(dāng)x=0時(shí)，CD的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，題中涉及拋物線的性質(zhì)以及最值的求法等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．