Question

4．如圖，在坐標(biāo)系中，A（0，6），B（-2，0），C（3，0），∠BAC=45°，BD⊥AC，M（4，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)t秒
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接PD、PE，設(shè)△PDE的面積為S，用t的代數(shù)式表示S
（3）點(diǎn)F為直線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PCF與△AED全等？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用面積法求出AD=BD=2$\sqrt{5}$，再由DN∥AO得$\frac{DN}{AO}=\frac{CN}{CO}=\frac{CD}{CA}$，得CN=1，DN=2，由此即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)s=S_△PDE-S_△PEB即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形討論：①如圖當(dāng)△P₁F₁C≌△ADE，②當(dāng)△F₂P₂C≌△ADE分別求出PC即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）作DN⊥OC于N，
在RT△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠BAD=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD
∵$\frac{1}{2}$•BC•OA=$\frac{1}{2}$•AC•BD，
∴BD=$\frac{BC•AO}{AC}$=2$\sqrt{5}$，
∵DN∥AO，
∴$\frac{DN}{AO}=\frac{CN}{CO}=\frac{CD}{CA}$，
∴CN=1，DN=2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，2），
（2）∵EO∥DN，BO=ON，
∴BE=ED，OE=$\frac{1}{2}$DN=1，
s=S_△PDE-S_△PEB=$\frac{1}{2}$•（6+2t）•2-$\frac{1}{2}$•（6+2t）•1=t+3．
（3）①如圖當(dāng)△P₁F₁C≌△ADE時(shí)，P₁C=AE=5，
∴P₁M=4，t=2．
②當(dāng)△F₂P₂C≌△ADE時(shí)，P₂C=ED=$\sqrt{5}$，
∴P₂M=$\sqrt{5}$-1，
∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
綜上所述t=2或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時(shí)，△PCF與△AED全等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用面積法求出線段BD，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考�？碱}型．