Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F．
（1）求證：EF=BE+CF；
（2）將直線(xiàn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，其它條件不變，EF=BE+CF仍然成立嗎？如果不成立，線(xiàn)段EF、BE、CF又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
即EF=BE+CF．

解：（2）EF=BE+CF不成立．EF=CF-BE，
理由如下，∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
即EF=CF-BE．
分析：（1）本題可通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)換來(lái)得出結(jié)論；
（2）應(yīng)該是EF=CF-BE，證明方法也是通過(guò)證明三角形ABE和ACF全等，將相等的線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)換來(lái)得出結(jié)論的．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)全等三角形來(lái)將相等線(xiàn)段進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．