Question

【題目】如圖,在△ACD中,∠ACD＝90°,AC＝b,CD＝a,AD＝c,點(diǎn)B在CD的延長線上

(1)求證:關(guān)于x的一元二次方程必有實(shí)數(shù)根

(2)當(dāng)b＝3,CB＝5時(shí).將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段DE,連接BE,則當(dāng)a的值為多少時(shí),線段BE的長最短,最短長度是多少？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)a=1時(shí)，線段BE最短，最短長度是

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理得到，代入一元二次方程根的判別式得，即可得證；

（2）過E作EF⊥BC于F，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DEF=∠ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC=b=3，EF=CD，設(shè)CD=x，則，于是得出結(jié)論.

（1）證明： 在Rt△ACD中，由勾股定理得：，即

∴關(guān)于x的一元二次方程必有實(shí)數(shù)根

（2）過E作EF⊥BC于F，如圖

∵∠C=∠ADE=90°

∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°

∴∠DEF=∠ADC

在△EDF和△DAC中

∴△EDF≌△DAC（AAS）

∴DF=AC=b=3，EF=CD

設(shè)CD=x，則

∴的最小值是2

∴當(dāng)CD=1時(shí)，BE的最小值是

即當(dāng)a=1時(shí)，線段BE最短，最短長度是