【題目】已知直線l經(jīng)過A(6,0)和B(0,12)兩點(diǎn),且與直線y=x交于點(diǎn)C,點(diǎn)P(m,0)在x軸上運(yùn)動(dòng).
(1)求直線l的解析式;
(2)過點(diǎn)P作l的平行線交直線y=x于點(diǎn)D,當(dāng)m=3時(shí),求△PCD的面積;
(3)是否存在點(diǎn)P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣2x+12;(2)S△PCD=3;(3)存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(6+2,0)或(6﹣2,0)或(2,0).
【解析】
(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式;
(2)聯(lián)立直線l和直線y=x,可求得C點(diǎn)坐標(biāo),由條件可求得直線PD的解析式,同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo),則可分別求得△POD和△POC的面積,則可求得△PCD的面積;
(3)由P、A、C的坐標(biāo),可分別表示出PA、PC和AC的長(zhǎng),由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程,則可求得m的值,則可求得P的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)直線l解析式為y=kx+b,
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線l解析式為y=﹣2x+12;
(2)解方程組,可得,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),
設(shè)PD解析式為y=﹣2x+n,把P(3,0)代入可得0=﹣6+n,解得n=6,
∴直線PD解析式為y=﹣2x+6,
解方程組,可得,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),
∴S△POD=×3×2=3,S△POC=×3×4=6,
∴S△PCD=S△POC﹣S△POD=6﹣3=3;
(3)∵A(6,0),C(4,4),P(m,0),
∴PA2=(m﹣6)2=m2﹣12m+36,
PC2=(m﹣4)2+42=m2﹣8m+32,
AC2=(6﹣4)2+42=20,
當(dāng)△PAC為等腰三角形時(shí),則有PA=PC、PA=AC或PC=AC三種情況,
①當(dāng)PA=PC時(shí),則PA2=PC2,即m2﹣12m+36=m2﹣8m+32,
解得m=1,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);
②當(dāng)PA=AC時(shí),則PA2=AC2,即m2﹣12m+36=20,
解得m=6+2或m=6﹣2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(6+2,0)或(6﹣2,0);
③當(dāng)PC=AC時(shí),則PC2=AC2,即m2﹣8m+32=20,解得m=2或m=6,當(dāng)m=6時(shí),P與A重合,舍去,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0);
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(1,0)或(6+2,0)或(6﹣2,0)或(2,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
(1)圖①中共有 對(duì)相似三角形,寫出來分別為 (不需證明);
(2)已知AB=10,AC=8,請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng);
(3)在(2)的情況下,如果以AB為x軸,CD為y軸,點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系(如圖②),若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng);設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AD=4,E在AB上且AB=4BE,連接CE,作BF⊥CE于F,正方形對(duì)角線交于O點(diǎn),連接OF,將△COF沿CE翻折得△CGF,連接BG,則BG的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市部分學(xué)生參加了全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽,并取得優(yōu)異成績(jī).已知競(jìng)賽成績(jī)分?jǐn)?shù)都是整數(shù),試題滿分為140分,參賽學(xué)生的成績(jī)分?jǐn)?shù)分布情況如下:
分?jǐn)?shù)段 | 0-19 | 20-39 | 40-59 | 60-79 | 80-99 | 100-119 | 120-140 |
人數(shù) | 0 | 37 | 68 | 95 | 56 | 32 | 12 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)全市共有多少人參加本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽?最低分和最高分在什么分?jǐn)?shù)范圍?
(2)經(jīng)競(jìng)賽組委會(huì)評(píng)定,競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>60分以上(含60分)的考生均可獲得不同等級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì),求我市參加本次競(jìng)賽決賽考生的獲獎(jiǎng)比例;
(3)決賽成績(jī)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)?
(4)上表還提供了其他信息,例如:“沒獲獎(jiǎng)的人數(shù)為105人”等等.請(qǐng)你再寫出兩條此表提供的信息.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AC為對(duì)角線,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E使CE=CA,連接AE。F為AB上一點(diǎn),且BF=DE,連接FC.
(1)若DE=1,CF=2,求CD的長(zhǎng)。
(2)如圖2,點(diǎn)G為線段AE的中點(diǎn),連接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=600,求證:AF+CE=AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),與y軸交于點(diǎn).
求拋物線的解析式;
在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
將拋物線在B,C之間的部分記為圖象包含B,C兩點(diǎn),若直線與圖象G有公共點(diǎn),請(qǐng)直接寫出b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O直徑CD,過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E.已知AB=6cm,設(shè)弦AC的長(zhǎng)為xcm,B,E兩點(diǎn)間的距離為ycm(當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí),y的值為0).
小冬根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小冬的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,得到了x與y的幾組值,如下表:
經(jīng)測(cè)量m的值是(保留一位小數(shù)).
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出表格中所有各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)函數(shù)圖象與直線相交時(shí)(原點(diǎn)除外),∠BAC的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊斜邊長(zhǎng)相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點(diǎn).
(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;
(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:
①當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時(shí),線段AM,MN,NB之間有一個(gè)不變的關(guān)系式,請(qǐng)你寫出這個(gè)關(guān)系式,并說明理由;
②當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上(如圖③)時(shí),①中的關(guān)系式是否仍然成立?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,以點(diǎn)A為圓心,1為半徑作圓,E是⊙A上的任意一點(diǎn),將DE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到DF,連接AF,
(1)當(dāng)∠EAD=90°時(shí),AF=________________.
(2)在E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,AF的最大值是________________.
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