Question

在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3：4，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N，以AM、AN為鄰邊作矩形AMPN，其對角線交點為G．直線MP、NP分別與邊BC相交于點E、F，設AP=x．
（1）求AB、AC的長；
（2）如圖2，當點P落在BC上時，求x的值；
（3）當EF=5時，求x的值；
（4）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合部分的面積為y．試求y關于x的函數(shù)表達式，并求出y的最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）在△ABC中，先由tan∠ABC=

AC

AB

=3：4，可設AC=3k，則AB=4k，再根據(jù)勾股定理列出方程（3k）²+（4k）²=10²，解方程求出k=2，進而得到AB、AC的長；
（2）如圖2，先由矩形的性質(zhì)得出MN=AP=x，PN∥AM，再由MN∥BC，根據(jù)平行四邊形的定義證明四邊形BPNM是平行四邊形，于是BP=MN=x，同理，得到CP=MN=x，然后根據(jù)BP+CP=BC列出方程x+x=10，解方程即可求出x的值；
（3）分兩種情況進行討論：①如圖1，先證明四邊形BFNM是平行四邊形，得出BF=MN=x，同理，得到CE=MN=x，再根據(jù)BF+EF+CE=BC列出方程x+5+x=10，解方程求出x=2.5；②如圖3，先證明四邊形BFNM是平行四邊形，得出BF=MN=x，BE=BF-EF=x-5，同理，CE=MN=x，再根據(jù)BE+CE=BC列出方程x-5+x=10，解方程求出x=7.5；
（4）在動點M的運動過程中，分兩種情況進行討論：①當0＜x≤5時，如圖1，先解Rt△AMN，得出AM=MN•cos∠AMN=

4

5

x，AN=MN•sin∠AMN=

3

5

x，再根據(jù)y=S_△MNP=

1

2

S_矩形AMPN，利用矩形的面積公式求出y關于x的函數(shù)表達式為y=

6

25

x²，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出此時y的最大值；②當5＜x＜10時，如圖3，先解Rt△PEF，得出PE=PM-ME=

6

5

（x-5），PF=PN-NF=

8

5

（x-5），由三角形的面積公式得出S_△PEF=

1

2

PE•PF=

24

25

（x-5）²，再根據(jù)y=S_△MNP-S_△PEF得到y(tǒng)關于x的函數(shù)表達式為y=-

18

25

（x-

20

3

）²+8，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出此時y的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠A=90°，
∴tan∠ABC=

AC

AB

=3：4，AC²+AB²=BC²，
∴可設AC=3k，則AB=4k，
∵BC=10，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴AB=8，AC=6；

（2）∵四邊形AMPN為矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四邊形BPNM是平行四邊形，
∴BP=MN=x．
同理，CP=MN=x，
∵BP+CP=BC，
∴x+x=10，
解得x=5；

（3）分兩種情況：
①如圖1，∵四邊形AMPN為矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四邊形BFNM是平行四邊形，
∴BF=MN=x．
同理，CE=MN=x，
∵BF+EF+CE=BC，
∴x+5+x=10，
解得x=2.5；
②如圖3，∵四邊形AMPN為矩形，
∴MN=AP=x，PN∥AM，
∵MN∥BC，
∴四邊形BFNM是平行四邊形，
∴BF=MN=x，BE=BF-EF=x-5．
同理，CE=MN=x，
∵BE+CE=BC，
∴x-5+x=10，
解得x=7.5；
綜上所述，所求x=2.5或7.5；

（4）在動點M的運動過程中，分兩種情況：
①當0＜x≤5時，如圖1，
在Rt△AMN中，∵∠MAN=90°，MN=AP=x，
∴AM=MN•cos∠AMN=MN•cos∠B=x•

8

10

=

4

5

x，
AN=MN•sin∠AMN=MN•sin∠B=x•

6

10

=

3

5

x，
∴y=S_△MNP=

1

2

S_矩形AMPN=

1

2

AM•AN=

1

2

•

4

5

x•

3

5

x=

6

25

x²，
當x=5時，y取最大值，此時y_最大=

6

25

×5²=6；
②當5＜x＜10時，如圖3，
y=S_△MNP-S_△PEF=

6

25

x²-S_△PEF，
∵PE=PM-ME=AN-BM•tan∠B=

3

5

x-（8-

4

5

x）×

3

4

=

6

5

（x-5），
PF=PN-NF=AM-CN•tan∠C=

4

5

x-（6-

3

5

x）×

4

3

=

8

5

（x-5），
∴S_△PEF=

1

2

PE•PF=

1

2

×

6

5

（x-5）×

8

5

（x-5）=

24

25

（x-5）²，
∴y=

6

25

x²-

24

25

（x-5）²=-

18

25

x²+

48

5

x-24=-

18

25

（x-

20

3

）²+8，
當x=

20

3

時，y取最大值，此時y_最大=8；
綜上所述，y關于x的函數(shù)表達式為y=

6 25 x2(0＜x≤5) - 18 25 x2+ 48 5 x-24(5＜x＜10)

，且當x=

20

3

時，y的最大值為8．

點評：本題是四邊形的綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圖形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用分類討論、數(shù)形結合及方程思想是解題的關鍵．