Question

3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點(diǎn)P，作PE⊥PD交AB于點(diǎn)E，與線段AB交于點(diǎn)E，則線段PC的范圍是（　�。�

• A． PC＞0
• B． 0＜PC＜12
• C． 3≤PC≤12
• D． 3＜PC＜12

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DF⊥BC于F點(diǎn)，分P點(diǎn)在F右側(cè)和在線段BF上討論，并比較當(dāng)BE最大時(shí)是否有BE≤AB，由此得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F點(diǎn)，如圖，

①當(dāng)P點(diǎn)在F點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，顯然有∠DPB＜90°，E點(diǎn)在線段AB的延長線上，不符合題意，此時(shí)0≤PC＜3．
②當(dāng)P點(diǎn)在線段BF中時(shí)，設(shè)BP=a，則PF=BF-BP=AD-BP=9-a，
∵∠BPE+∠EPD+∠DPF=180°，∠DPF+∠FDP=90°，
∴∠BPE=∠GDP，∠EBP=∠PFD=90°，
∴△BPE∽△FDP，
∴$\frac{BE}{BP}$=$\frac{PF}{FD}$，即BE=$\frac{9a-{a}^{2}}{10}$，
當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)，BE最大為$\frac{81}{40}$＜10=AB，
∵BE≥0，
∴0≤a≤9，PC=BC-a，
∴3≤PC≤12．
綜合①②得知3≤PC≤12．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是通過極值問題判定，當(dāng)點(diǎn)P在線段BF上時(shí)，E點(diǎn)在線段AB上．