Question

11．（1）如圖，在等邊△ABC中，在BC邊上任取一點P，過點P作AC的平行線，過點C作AB的平行線，兩線交于點Q．求證：AP=BQ．
（2）在上面的條件下，點P在BC邊上任意運動，延長AP交BQ于點D，請畫出圖形，問AD與BD+CD之間是否存在確定關(guān)系？若存在，請指明這個關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPQ=∠ACB=60°，∠PCQ=∠ABC=60°，推出△PCQ是等邊三角形，得到CP=CQ，證得△ACP≌△BQC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，由平行線的性質(zhì)得到∠QCP=∠ABC=60°，同理，∠CPQ=60°，推出△PCQ為等邊三角形，于是得到CQ=CP，推出△BCQ≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBQ=∠CAP，在AP上截取點E，使AE=BD，證得△BCD≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)得到CD=CE，∠ACE=∠BCD，推出△CDE為等邊三角形，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在等邊△ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵PQ∥AC，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∵CQ∥AB，
∴∠PCQ=∠ABC=60°，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴CP=CQ，
在△ACP與△BQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BQC，
∴AP=BQ；

（2）AD=BD+CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵CQ∥AB，
∴∠QCP=∠ABC=60°，
同理，∠CPQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴CQ=CP，
在△BCQ與△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCQ=∠ACB}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP，
∴∠CBQ=∠CAP，
在AP上取點E，使AE=BD，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBQ=∠CAP}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BCE+∠BCD=∠ECD=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE為等邊三角形，
∴CD=ED，
∴AD=AE+ED=BD+CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．