Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分線CE⊥AB于點(diǎn)E，BE=2AE．若四邊形AECD的面積為7，則四邊形ABCD的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：延長BA與CD，兩延長線交于點(diǎn)F，由CE垂直于BF，得到一對(duì)直角相等，由CE為角平分線得到一對(duì)角相等，再由CE為公共邊，利用ASA可得出三角形CFE與三角形CBE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CF=CB，且BE=EF，由BE=2AE，得到EF=2AE，即A為EF的中點(diǎn)，由等腰三角形的兩底角相等得到一對(duì)角相等，再由兩直線平行得到一對(duì)同位角相等，等量代換并利用等角對(duì)等邊得到三角形AFD為等腰三角形，且三角形AFD與三角形BFC相似，相似比為1：4，可得出面積之比為1：16，設(shè)三角形AFD的面積為x，則三角形BFC的面積為16x，可得出三角形EFC的面積為8x，再由四邊形AECD的面積為7，由四邊形AECD的面積+三角形AFD的面積等于三角形EFC的面積列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出三角形AFD與三角形BFC的面積，用三角形BFC的面積減去三角形AFD的面積，即可求出四邊形ABCD的面積．
解答：解：延長BA，延長CD，兩延長線交于點(diǎn)F，如圖所示：
∵CE⊥BF，
∴∠CEF=∠CEB=90°，
∵CE為∠BCD的平分線，
∴∠FCE=∠BCE，
在△FCE和△BCE中，
，
∴△FCE≌△BCE（ASA），
∴CF=CB，BE=FE，
∴∠F=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠F=∠FAD，
∴△AFD為等腰三角形，
又BE=2AE，
∴EF=2AE，即A為EF的中點(diǎn)，
∴△AFD∽△BFC，且相似比為1：4，
∴S_△AFD：S_△BFC=1：16，
設(shè)S_△AFD=x，則S_△BFC=16x，即S_△EFC=8x，
由四邊形AECD的面積為7，得到S_△EFC=x+7，
∴8x=x+7，
解得：x=1，
∴S_△AFD=1，S_△BFC=16，
則四邊形ABCD的面積S=S_△BFC-S_△AFD=15．
故答案為：15
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．