Question

如圖，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E、交AC于F．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求（∠BOE+∠COF）的度數(shù)；
（2）△AEF的周長為8cm，且BC=4cm，求△ABC的周長．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分別是∠BAC和∠ACB的角平分線，
∴∠COF=∠FCO=∠ACB=30°，∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°，
∴∠BOE+∠COF=50°；

（2）∵∠COF=∠FCO，
∴OF=CF，
∵∠BOE=∠OBE，
∴OE=BE，
∴△AEF的周長=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8cm，
∴△ABC的周長=8+4=12（cm）．
分析：（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得到∠COF=∠FCO=∠ACB=30°，∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°，可得到∠BOE+∠COF）的度數(shù)；
（2）根據(jù)∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE可得△FOC、△EOB均為等腰三角形，由此把△AEF的周長轉(zhuǎn)化為AC+AB，進(jìn)而可得到△ABC的周長．
點評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)；對相等的線段進(jìn)行有效等量代換是解答本題的關(guān)鍵．