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已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點(1,0),(5,0),(3,﹣4).

(1)求該二次函數的解析式;
(2)當y>﹣3,寫出x的取值范圍; 
(3)A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點,且距離為2,點C為二次函數圖象上的動點,當點C運動到何處時△ABC的面積最小?求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值.
解:(1)∵點(1,0),(5,0),(3,﹣4)在拋物線上,
,解得。
∴二次函數的解析式為:y=x2﹣6x+5。
(2)在y=x2﹣6x+5中,令y=﹣3,即x2﹣6x+5=﹣3,
整理得:x2﹣6x+8=0,解得x1=2,x2=4。
結合函數圖象,可知當y>﹣3時,x的取值范圍是:x<2或x>4。
(3)設直線y=﹣2x﹣6與x軸,y軸分別交于點M,點N,

令x=0,得y=﹣6;令y=0,得x=﹣2,
∴M(﹣3,0),N(0,﹣6)。
∴OM=3,ON=6,由勾股定理得:MN=,
。
設點C坐標為(x,y),則y=x2﹣6x+5。。
過點C作CD⊥y軸于點D,
則CD=x,OD=﹣y,DN=6+y。
過點C作直線y=﹣2x﹣6的垂線,垂足為E,交y軸于點F,
在Rt△CDF中,DF=CD•tan∠MNO=x,
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。
在Rt△EFN中,EF=FN•sin∠MNO=(6+y﹣x),
∴CE=CF+EF=x+(6+y﹣x)。
∵C(x,y)在拋物線上,
∴y=x2﹣6x+5,代入上式整理得:CE=(x2﹣4x+11)=(x﹣2)2+。
∴當x=2時,CE有最小值,最小值為。
當x=2時,y=x2﹣6x+5=﹣3,∴C(2,﹣3)。
∴△ABC的最小面積為: AB•CE=×2×=。
∴當C點坐標為(2,﹣3)時,△ABC的面積最小,面積的最小值為。

試題分析:(1)利用待定系數法求出拋物線的解析式。
(2)求出y=3時x的值,結合函數圖象,求出y>﹣3時x的取值范圍。
(3)△ABC的底邊AB長度為2,是定值,因此當AB邊上的高最小時,△ABC的面積最。缃獯饒D所示,由點C向直線y=﹣2x﹣6作垂線,利用三角函數(或相似三角形)求出高CE的表達式,根據表達式求出CE的最小值,這樣問題得解。
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,與x軸交于點A(﹣3,0)和點B(1,0).與y軸交于點C,頂點為D.

(1)求頂點D的坐標.(用含a的代數式表示);
(2)若△ACD的面積為3.
①求拋物線的解析式;
②將拋物線向右平移,使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P,且∠PAB=∠DAC,求平移后拋物線的解析式.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=a(x﹣h)2+k經過點A(0,1),且頂點坐標為B(1,2),它的對稱軸與x軸交于點C.

(1)求此拋物線的解析式.
(2)在第一象限內的拋物線上求點P,使得△ACP是以AC為底的等腰三角形,請求出此時點P的坐標.
(3)上述點是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點?若是,請說明理由;若不是,請求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(﹣4,﹣3),與y軸交于點B,對稱軸是x=﹣3,請解答下列問題:

(1)求拋物線的解析式.
(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C,D兩點,點C在對稱軸左側,且CD=8,求△BCD的面積.
注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在⊙C的內接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,拋物線(a≠0)經過點A(4,0)與點(﹣2,6).

(1)求拋物線的解析式;
(2)直線m與⊙C相切于點A,交y軸于點D,動點P在線段OB上,從點O出發(fā)向點B運動,同時動點Q在線段DA上,從點D出發(fā)向點A運動,點P的速度為每秒1個單位長,點Q的速度為每秒2個單位長.當PQ⊥AD時,求運動時間t的值.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,坐標原點為O,A點坐標為(4,0),B點坐標為(﹣1,0),以AB的中點P為圓心,AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C.

(1)求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式;
(2)設M為(1)中拋物線的頂點,求直線MC對應的函數解析式;
(3)試說明直線MC與⊙P的位置關系,并證明你的結論.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:單選題

二次函數圖象上部分點的坐標滿足下表:
則該函數圖象的頂點坐標為【   】
x

﹣3
﹣2
﹣1
0
1

y

﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11

A.(-3,-3)      B.(-2,-2)      C.(-1,-3)      D.(0,-6)

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

(2013年浙江義烏10分)為迎接中國森博會,某商家計劃從廠家采購A,B兩種產品共20件,產品的采購單價(元/件)是采購數量(件)的一次函數.下表提供了部分采購數據.
采購數量(件)
1
2

A產品單價(元/件)
1480
1460

B產品單價(元/件)
1290
1280

(1)設A產品的采購數量為x(件),采購單價為y1(元/件),求y1與x的關系式;
(2)經商家與廠家協商,采購A產品的數量不少于B產品數量的,且A產品采購單價不低于1200元.求該商家共有幾種進貨方案;
(3)該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A,B兩種產品,且全部售完.在(2)的條件下,求采購A種產品多少件時總利潤最大,并求最大利潤.

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科目:初中數學 來源:不詳 題型:填空題

崇左市政府大樓前廣場有一噴水池,水從地面噴出,噴出水的路徑是一條拋物線.如果以水平地面為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,水在空中劃出的曲線是拋物線y=﹣x2+4x(單位:米)的一部分.則水噴出的最大高度是   千米.

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