Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△A′B′C．連接A′A、B′B，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA和S_△BCB．

（1）直接寫出S_△ACA′：S_△BCB′的值______；
（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°）時(shí)，S_△ACA′與S_△BCB′的比值是否發(fā)生變化，若不變請(qǐng)證明；若改變，寫出變化后的比值（可用含θ的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACA′和△BCB′都是等腰三角形，并且∠ACA′=∠BCB′=30°，所以△ACA′∽△BCB′，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到它們面積的比等于CA²：CB²；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACA′和△BCB′都是等腰三角形，并且∠ACA′=∠BCB′=θ，所以△ACA′∽△BCB′，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到它們面積的比等于CA²：CB²．
解答：解：（1）S_△ACA′：S_△BCB′的值為：9：16；

（2）S_△ACA′與S_△BCB′的比值不發(fā)生變化．理由如下：
∵△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，得到△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=3²：4²=9：16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且它們的夾角相等的兩三角形相似；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．