Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AC方向以每秒cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí).

①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OP的長(zhǎng)度；

②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；

（2）顯然，當(dāng)x=0時(shí)，四邊形PBEQ即梯形ABED，請(qǐng)問(wèn)，當(dāng)P在線段AC的其他位置時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿(mǎn)足條件的x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1，OA=OC=

    ∴OP=

    ②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴

                                     

 

（2）能成為梯形，分三種情況：

    當(dāng)PQ∥BE時(shí)，∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此時(shí)PB不平行QE，∴x=時(shí)，四邊形PBEQ為梯形.  

    當(dāng)PE∥BQ時(shí)，P為OC中點(diǎn)

        ∴AP=，即

        ∴

        此時(shí)，BQ=2-x=≠PE，∴x=時(shí)，四邊形PEQB為梯形.  

    當(dāng)EQ∥BP時(shí)，△QEH∽△BPO

        ∴    ∴

        ∴x=1（x=0舍去）

        此時(shí)，BQ不平行于PE，

∴x=1時(shí)，四邊形PEQB為梯形.    

    綜上所述，當(dāng)x=或或1時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.