Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

（k＞0）與直線y=k′x交于A，B兩點，點P在第一象限．

（1）若點A的坐標(biāo)為（3，2），則k的值為

 

，k′的值為

 

；點B的坐標(biāo)為（

 

）；
（2）若點A（m，m-1），P（m-2，m+3）都在雙曲線的圖象上，試求出m的值；
（3）如圖，在（2）小題的條件下：
①過原點O和點P作一條直線，交雙曲線于另一點Q，試證明四邊形APBQ是平行四邊形；
②如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點P，A，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求出點M和點N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標(biāo)為（3，2），分別代入解析式y=

k

x

（k＞0）與直線y=k′x，就可以求出k與k′的值．解兩個函數(shù)的解析式組成的方程組就得到B點的坐標(biāo)；
（2）若點A（m，m-1），P（m-2，m+3）都在雙曲線的圖象上．把這兩點代入函數(shù)解析式就可以得到關(guān)于m的方程，可以求出m的值；
（3）①根據(jù)反比例函數(shù)是中心對稱圖形，得到OA=OB，OP=OQ，則四邊形APBQ的兩條對角線互相平分，因而四邊形APBQ是平行四邊形；
②存在兩種情況，當(dāng)M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，根據(jù)四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，根據(jù)直線的平移就可以得到M₁點的坐標(biāo)．當(dāng)M點在x軸的負(fù)半軸上，N點在y軸的負(fù)半軸上時，同理可以得到M₂點和N₂點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）k的值為6，k′的值為

2

3

；點B的坐標(biāo)為（-3，-2）；（3分）
（2）由題意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1）=k，解得m=3；（5分）

（3）①證明：由m=3得A（3，2），P（1，6），
由此可得：B（-3，-2），Q（-1，-6），（6分）
∴OA=OB=

22+32

=

13

OP=OQ=

12+62

=

37

，（7分）
∴四邊形APBQ是平行四邊形；（8分）
②存在兩種情況，如圖：
（a）當(dāng)M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，
設(shè)M₁點坐標(biāo)為（x₁，0），N₁點坐標(biāo)為（0，y₁），
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段PA向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的，
（也可看作向下平移2個單位，再向左平移1個單位得到的）．（9分）
又A點坐標(biāo)為（3，2），P點坐標(biāo)為（1，6），
∴N₁點坐標(biāo)為（0，6-2），即N₁（0，4），
M₁點坐標(biāo)為（3-1，0），即M₁（2，0）；（10分）
（b）當(dāng)M點在x軸的負(fù)半軸上，N點在y軸的負(fù)半軸上時，
設(shè)M₂點坐標(biāo)為（x₂，0），N₂點坐標(biāo)為（0，y₂），
∵PA∥N₁M₁，PA∥M₂N₂，PA=N₁M₁，PA=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴0M₂₌OM₁，ON₁=ON₂，
∴M₂點坐標(biāo)為（-2，0），N₂點坐標(biāo)為（0，-4）．（12分）
注意：沒寫過程的：只寫出一種情況坐標(biāo)得（1分），寫兩種得（2分）過程不必這樣細(xì)．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，并且反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形．