Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是CD邊外的一點(diǎn)，滿足：CE∥BD，BE=BD，則CE=

6 - 2

2

．

Answer 1

分析：由正方形ABCD，得到三角形DCB為等腰直角三角形，且兩直角邊為1，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，又BE=BD，從而得到BE的長(zhǎng)，設(shè)CF=x，故BF=BC-CF=1-x，在直角三角形BCF中，由BC=1，CF=x，根據(jù)勾股定理表示出BF，再由BE-BF表示出EF，由EC與BD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可得三角形BDF與三角形ECF相似，根據(jù)相似得比例，把各邊的長(zhǎng)代入列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而求出相似比，可得出CE的長(zhǎng)．

解答：解：∵正方形ABCD，且邊長(zhǎng)為1，
∴△DCB為等腰直角三角形，且BC=CD=1，
則根據(jù)勾股定理得：BE=BD=

2

，
設(shè)CF=x，DF=1-x，則BF=

1+x2

，EF=

2

-

1+x2

，
∵EC∥BD，∴∠DBF=∠CEF，∠BDF=∠ECF，
∴△BDF∽△ECF，
∴

EF

BF

=

CF

DF

=

EC

BD

，即

2 - 1+x2

1+x2

=

x

1-x

，
所以

1+x2

2 - 1+x2

=

1-x

x

，化簡(jiǎn)得

1+x2

2

=

1-x

1

，
兩邊平方化簡(jiǎn)得：x²-4x+1=0，
解得：x₁=2-

3

，或x₂=2+

3

（其值大于1，舍去），
再由

EC

BD

=

CF

DF

，即

EC

2

=

x

1-x

=

2- 3

3 -1

=

3 -1

2

，
所以EC=

6 - 2

2

．
故答案為：

6 - 2

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，相似三角形是中考的必考內(nèi)容，證明三角形的相似可以得到其對(duì)應(yīng)邊成比例，利用比例式建立已知邊與未知邊的聯(lián)系，借助方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，利用線段的加減及勾股定理表示出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊是解本題的關(guān)鍵．