Question

已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；

（3）點(diǎn)E是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長(zhǎng)EN交y軸于點(diǎn)F，E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，

∴，

 解得．

∴拋物線為y=﹣x²+x+2；

∴拋物線為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，

∴頂點(diǎn)M（，）．

（2）如圖1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），

∴直線BC為：y=﹣x+2，

當(dāng)x=時(shí)，y=，

∴N（，），

∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，

∴==，==，

∵∠ABC=∠NBO，

∴△ABC∽△NBO，

∴∠NOB=∠ACB；

（3）如圖2，作EF⊥BC于F，

∵直線BC為y=﹣x+2，

∴設(shè)E（m，﹣m²+m+2），直線EF的解析式為y=x+b，

則直線EF為y=x+（﹣m²+2），

解 得，

∴F（m²，﹣m²+2），

∵EF=，

∴（m﹣m²）²+（﹣m²+2+m²﹣m﹣2）²=（）²，

解得m=1，

∴﹣m²+m+2=2，

∴E（1，2），

（4）如圖2，延長(zhǎng)EF交y軸于Q，

∵m=1，

∴直線EF為y=x+1，

∴Q（0，1），

∵F（，），

∴FQ==，

∵EF=，EF⊥BC，

∴E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱．