1．（1）如圖①，等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．你能發(fā)現(xiàn)線段AE、AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）類(lèi)比猜想：如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想線段AE、AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

分析 （1）利用條件可證明△ACE≌△BCD，則可得到AE=BE，再利用線段的和差可證得結(jié)論AC=AD+AE；
（2）由條件可證明△ACE≌△BCD，同樣可以得到結(jié)論AC=AE-AD．

解答 解：
（1）結(jié)論：AC=AD+AE，
證明如下：
∵△ABC、△CDE為等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ECA=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{EC=DC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴AC=AB=AD+BD=AD+AE；
（2）結(jié)論：AC=AE-AD，
理由如下：
同（1）可證明△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴AC=AB=BD-AD=AE-AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．如圖，直線x⊥直線y于點(diǎn)O，直線x⊥AB于點(diǎn)B，E是線段AB上一定點(diǎn)，D點(diǎn)為線段OB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O、B重合），CD⊥DE交直線y于點(diǎn)C，連接AC．
（1）當(dāng)∠OCD=60°時(shí)，求∠BED的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠CDO=∠A時(shí)，CD⊥AC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若∠BED、∠DCO的角平分線的交點(diǎn)為P，當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠P的大小是否為定值？若是定值，求其值，并說(shuō)明理由；若變化，求其變化范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．若一個(gè)直角三角形三條邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，且一條直角邊與斜邊的和為25，試求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．已知，如圖，在△ABC中，AB=12，BC=13，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，E為AC邊中點(diǎn)，若∠BAD=45°，求DE的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a和b，且滿足|a+4|+（b-3）2=0，點(diǎn)M為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出a、b的值，并畫(huà)出圖形；
（2）點(diǎn)M為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B不動(dòng)，問(wèn)線段BM與AM的差即BM-AM的值是否一定發(fā)生變化？請(qǐng)回答．
（3）設(shè)點(diǎn)A以每秒x個(gè)單位向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從表示y數(shù)的點(diǎn)以每秒x個(gè)單位向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒y個(gè)單位向右運(yùn)動(dòng)t秒后
 ①A、B、M三點(diǎn)分別表示什么數(shù)（用x、y、t表示）；
②線段BM與AM的差即BM-AM的值是否一定發(fā)生變化？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．小明為一個(gè)矩形娛樂(lè)場(chǎng)所提供了如下的設(shè)計(jì)方案，其中半圓形休息區(qū)和矩形游泳池以外的地方都是綠地．
（1）游泳池和休息區(qū)的面積各是多少？
（2）綠地的面積是多少？
（3）如果這個(gè)娛樂(lè)場(chǎng)所需要有一半以上的綠地，小明設(shè)計(jì)的m，n分別是a，b的$\frac{1}{2}$，當(dāng)a=60米，b=40米時(shí)，他的設(shè)計(jì)方案符合要求嗎？（π取值為3）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3），B（3，0），過(guò)B作直線BC⊥x軸，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，沿直線先到達(dá)x軸上的E點(diǎn)，再到直線BC上的F點(diǎn)，最后到達(dá)點(diǎn)A．
（1）求多邊形AMEF面積的最小值；
（2）求使N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的E點(diǎn)、F點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短的總路徑的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題：計(jì)算$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$*（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）
探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)字問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．
探究一：計(jì)算$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：計(jì)算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
兩邊同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$\

探究三：計(jì)算$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$．
（仿照上述方法，只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程）

解決問(wèn)題：根據(jù)前面探究結(jié)果：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．
…
推出：$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．（只填空，其中m、n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）
拓廣應(yīng)用：計(jì)算$\frac{5-1}{5}+\frac{{5}^{2}-1}{{5}^{2}}+\frac{{5}^{3}-1}{{5}^{3}}+…+\frac{{5}^{n}-1}{{5}^{n}}$．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

11．計(jì)算$\frac{（{3}^{4}+4）（{7}^{4}+4）（1{1}^{4}+4）}{（{1}^{4}+4）（{5}^{4}+4）（{9}^{4}+4）}$=145．

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同步練習(xí)冊(cè)答案