Question

5．如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，OA=2，∠BOC=30°，把△OBC沿OB對折，點C落在點D處，線段OD與AB交于點E．若點P在直線CD上，并且△OEP為直角三角形，求P點坐標．

Answer 1

分析 分三種情形討論：①當(dāng)∠EOP=90°時，PE²=PO²+OE²；②當(dāng)∠OEP=90°時，OP²=OE²+EP²；③當(dāng)∠OPE=90°時，OE²=EP²+OP²；分別列出方程解方程即可．

解答 解：如圖，∵△OBD是由△OBC翻折，∠BOC=30°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠BOD=∠AOE=30°，OD=OC，
∴△DOC是等邊三角形，
在RT△AEO中，∵A0=2，∠OE=30°，
∴EA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，點E坐標（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2），
在RT△BOC中，∵BC=AO=2，∠BOC=30°，
∴OC=2$\sqrt{3}$，∴點D坐標（$\sqrt{3}$，3），點C坐標（2$\sqrt{3}$，0）
直線CD為y=-$\sqrt{3}$x+6，設(shè)點P（m，-$\sqrt{3}m+6$），
∴PO²=m²+（-$\sqrt{3}$m+6）²=4m²-12$\sqrt{3}$m+36，PE²=（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+（-$\sqrt{3}$m+4）²=4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$，OE²=$\frac{16}{3}$，
①當(dāng)∠EOP=90°時，PE²=PO²+OE²，4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$=4m²-12$\sqrt{3}$m+36+$\frac{16}{3}$，解得m=3$\sqrt{3}$，∴點P坐標（3$\sqrt{3}$，-3）；
②當(dāng)∠OEP=90°時，OP²=OE²+EP²，4m²-12$\sqrt{3}$m+36=4m²-$\frac{28\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{52}{3}$+$\frac{16}{3}$，解得m=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，∴點P坐標（$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，$\frac{8}{3}$）；
③當(dāng)∠OPE=90°時，OE²=EP²+OP²，方程無解．
綜上所述，點P坐標為（3$\sqrt{3}$，-3）或（$\frac{10\sqrt{3}}{9}$，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查翻折變換、坐標與圖形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會分類討論，用轉(zhuǎn)化的思想去思考問題，計算量比較大．