Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點進(jìn)行證明；
（2）△BEF為正三角形，可解用（1）全等的結(jié)論證明；
（3）作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)成直角三角形，根據(jù)直角三角形的特點和三角函數(shù)進(jìn)行計算．

解答：（1）證明：∵菱形ABCD的邊長為2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；

（2）解：△BEF為正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

（3）解：設(shè)BE=BF=EF=x，
則S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當(dāng)BE⊥AD時，x最小=2×sin60°=

3

，
∴S_最小=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

，
當(dāng)BE與AB重合時，x最大=2，
∴S_最大=

3

4

×2²=

3

，
∴

3 3

4

≤s≤

3

．

點評：本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合運用．