(2005•臺(tái)州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),⊙C與y軸相切于D點(diǎn),與x軸相交于A(2,0)、B(8,0)兩點(diǎn),圓心C在第四象限.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)連接BC并延長(zhǎng)交⊙C于另一點(diǎn)E,若線(xiàn)段BE上有一點(diǎn)P,使得AB2=BP•BE,能否推出AP⊥BE?請(qǐng)給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
(3)在直線(xiàn)BE上是否存在點(diǎn)Q,使得AQ2=BQ•EQ?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,也請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,根據(jù)圓心的性質(zhì),可得C的AB的中垂線(xiàn)上,易得C的橫坐標(biāo)為5;進(jìn)而可得圓的半徑為5;利用勾股定理可得其縱坐標(biāo)為-4;即可得C的坐標(biāo);
(2)連接AE,由圓周角定理可得∠BAE=90°,進(jìn)而可得AB2=BP•BE,即,可得△ABE∽△PBA;進(jìn)而可得∠BAE=90°,即AP⊥BE;
(3)分三種情況討論,根據(jù)相似三角形性質(zhì)、切割線(xiàn)定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義,易得Q到xy軸的距離,即可得Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)C(5,-4);(3分)

(2)能. (4分)
連接AE,
∵BE是⊙O的直徑,
∴∠BAE=90°,(5分)
在△ABE與△PBA中,AB2=BP•BE,即,
又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA,(7分)
∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE;(8分)

(3)分析:假設(shè)在直線(xiàn)EB上存在點(diǎn)Q,使AQ2=BQ•EQ.Q點(diǎn)位置有三種情況:
①若三條線(xiàn)段有兩條等長(zhǎng),則三條均等長(zhǎng),于是容易知點(diǎn)C即點(diǎn)Q;
②若無(wú)兩條等長(zhǎng),且點(diǎn)Q在線(xiàn)段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知點(diǎn)Q即為AQ⊥EB之垂足;
③若無(wú)兩條等長(zhǎng),且當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段EB外,由條件想到切割線(xiàn)定理,知QA切⊙C于點(diǎn)A.設(shè)Q(t,y(t)),并過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥x軸于點(diǎn)R,由相似三角形性質(zhì)、切割線(xiàn)定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線(xiàn)解析式等可得多種解法.
解題過(guò)程:
①當(dāng)點(diǎn)Q1與C重合時(shí),AQ1=Q1B=Q1E,顯然有AQ12=BQ1•EQ1
∴Q1(5,-4)符合題意;(9分)
②當(dāng)Q2點(diǎn)在線(xiàn)段EB上,∵△ABE中,∠BAE=90°
∴點(diǎn)Q2為AQ2在BE上的垂足,(10分)
∴AQ2==4.8(或),
∴Q2點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2+AQ2•cos∠BAQ2=2+3.84=5.84,
又由AQ2•sin∠BAQ2=2.88,
∴點(diǎn)Q2(5.84,-2.88),[或(,-)];(11分)
③方法一:若符合題意的點(diǎn)Q3在線(xiàn)段EB外,
則可得點(diǎn)Q3為過(guò)點(diǎn)A的⊙C的切線(xiàn)與直線(xiàn)BE在第一象限的交點(diǎn).
由Rt△Q3BR∽R(shí)t△EBA,△EBA的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10,
故不妨設(shè)BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t,(12分)
由Rt△ARQ3∽R(shí)t△EAB得,(13分)
得t=
(注:此處也可由tan∠Q3AR=tan∠AEB=列得方程=;
或由AQ32=Q3B•Q3E=Q3R2+AR2列得方程5t(10+5t)=(4t)2+(3t+6)2等等)
∴Q3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8+3t=,Q3點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,
即Q3);(14分)
方法二:如上所設(shè)與添輔助線(xiàn),直線(xiàn)BE過(guò)B(8,0),C(5,-4),
∴直線(xiàn)BE的解析式是y=,(12分)
設(shè)Q3(t,),過(guò)點(diǎn)Q3作Q3R⊥x軸于點(diǎn)R,
∵易證∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽R(shí)t△EAB,
,即,(13分)
∴t=,進(jìn)而點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為,
∴Q3,);(14分)
方法三:若符合題意的點(diǎn)Q3在線(xiàn)段EB外,連接Q3A并延長(zhǎng)交y軸于F,
∴∠Q3AB=∠Q3EA,tan∠OAF=tan∠Q3AB=tan∠AEB=,
在Rt△OAF中有OF=2×=,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,-),
∴可得直線(xiàn)AF的解析式為y=x-,(12分)
又直線(xiàn)BE的解析式是,y=x-,(13分)
∴可得交點(diǎn)Q3,).   (14分)
點(diǎn)評(píng):本題是一道動(dòng)態(tài)解析幾何題,對(duì)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)分析,數(shù)形結(jié)合的思想作了重點(diǎn)的考查,有一定的難度.
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(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)連接BC并延長(zhǎng)交⊙C于另一點(diǎn)E,若線(xiàn)段BE上有一點(diǎn)P,使得AB2=BP•BE,能否推出AP⊥BE?請(qǐng)給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
(3)在直線(xiàn)BE上是否存在點(diǎn)Q,使得AQ2=BQ•EQ?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,也請(qǐng)說(shuō)明理由.

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