Question

（2004•鎮(zhèn)江）已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點C，且AB=6．
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在給定的直角坐標系中，畫出拋物線和直線BC；
（3）若⊙P過A、B、C三點，求⊙P的半徑；
（4）拋物線上是否存在點M，過點M作MN⊥x軸于點N，使△MBN被直線BC分成面積比為1：3的兩部分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要先依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂、x₁•x₂的值，然后依據(jù)AB=6，即x₂-x₁=6來求出m的值，進而得出A、B兩點的坐標．然后根據(jù)A、B、C的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線和執(zhí)行BC的解析式；
（2）經(jīng)過選點、描點、連線畫出函數(shù)圖象即可；
（3）根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知：圓心P必在拋物線的對稱軸上，因此可設出圓心P的縱坐標（其橫坐標為拋物線對稱軸的值），然后用坐標系中兩點間的距離公式求出PB、PC的長，因為PB、PC均為半徑，因此兩者相等，由此可得出關(guān)于P點縱坐標的方程，即可求出P點的坐標；
（4）如果設MN與直線BC相交于E，本題要分兩種情況進行討論：
①S_△MEB：S_△ENB=1：3；②S_△MEB：S_△ENB=3：1．
可先根據(jù)直線BC的解析式設出E點的坐標，然后依據(jù)上面的分析的兩種情況分別可得出一個關(guān)于E點坐標的方程，經(jīng)過解方程即可得出E點的坐標．
解答：解：（1）由題意得：x₁+x₂=，x₁•x₂=，x₂-x₁=6
則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（）²+=36
解得：m₁=1，m₂=-．
經(jīng)檢驗m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-
∵m＞0，
∴1-=6，
∴m=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則
∴
∴直線BC的解析式為y=5x-5；

（2）如圖1；

（3）如圖2，由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線y=x²+4x-5的對稱軸直線x=-2上，
設P（-2，-h）（h＞0），（6分）
連接PB、PC，則PB²=（1+2）²+h²，PC²=（5-h）²+2²，
由PB²=PC²，
即（1+2）²+h²=（5-h）²+2²，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半徑PB==；

（4）如圖3，設MN交直線BC于點E，點M的坐標為（t，t²+4t-5），則點E的坐標為（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，則ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=（5t-5）．
解得t₁=1（不合題意舍去），t₂=，
∴M（）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，則ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合題意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在點M，點M的坐標為（）或（15，280）．
點評：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的外心、圖形的面積的求法等知識點，主要考查了學生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．