設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對(duì)一切都有.

分析：因?yàn)閤∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．

證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則

又二次方程ax2+bx+c=±x無(wú)實(shí)根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

解題回顧：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,則

f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

=-a(x1-x2)

=(x1-x2)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x1=0,x2=,滿足f(x1)=f(x2)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,則

f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

=-a(x1-x2)

=(x1-x2)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x1=0,x2=,滿足f(x1)=f(x2)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,則

f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

=-a(x1-x2)

=(x1-x2)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x1=0,x2=,滿足f(x1)=f(x2)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,則

f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

=-a(x1-x2)

=(x1-x2)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x1=0,x2=,滿足f(x1)=f(x2)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x1<x2,則

f(x1)-f(x2)= --a(x1-x2)

=-a(x1-x2)

=(x1-x2)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x1=0,x2=,滿足f(x1)=f(x2)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x1|≥x1, >x2這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).

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