Question

【題目】在綜合實(shí)踐課上，老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

已知，在等腰三角形紙片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段BA上滑動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D．

（1）特例感知

當(dāng)∠BPC＝110°時(shí)，α＝　 　°，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP逐漸變　 　（填“大”或“小”）．

（2）合作交流

當(dāng)AP等于多少時(shí)，△APD≌△BCP，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）思維拓展

在點(diǎn)P的滑動(dòng)過(guò)程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出夾角α的大��；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）40°，��；（2）當(dāng)AP＝5時(shí)，△APD≌△BCP，理由詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)α＝45°或90°時(shí)，△PCD是等腰三角形．

【解析】

(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再一次運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求出 的度數(shù)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP的變化情況；

(2)先根據(jù)三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和得到∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，再證明∠APD＝∠BCP，根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得到當(dāng)AP＝5時(shí)，△APD≌△BCP．

(3)根據(jù)等腰三角形的判定，分三種情況討論即可得到；

解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，

∴∠B=∠A= =30°，

∴ ，

∵三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，

∴再移動(dòng)的過(guò)程中，∠APN不斷變大，∠A的度數(shù)沒(méi)有變化，

∴根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到∠ADP逐漸變小；

故答案為：40°，�。�

（2）當(dāng)AP＝5時(shí)，△APD≌△BCP．

理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，

∴∠A＝∠B＝30°．

又∵∠APC是△BPC的一個(gè)外角，

∴∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，

∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，

∴∠APD＝∠BCP，

當(dāng)AP＝BC＝5時(shí)，

在△APD和△BCP中，

∴△APD≌△BCP（ASA）；

（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形．

根據(jù)題意得：∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，

有以下三種情況：

①當(dāng)PC＝PD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，

∴α＝45°；

②當(dāng)DP＝DC時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，

∴α＝90°；

③當(dāng)CP＝CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝30°，

∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，

即120°﹣α＝120°，

∴α＝0°，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不符合題意，舍去．

綜上所述，當(dāng)α＝45°或90°時(shí)，△PCD是等腰三角形．