Question

(1)如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=6cm，求AC的長．

(2)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，O、M分別是AC、BD的中點，過點C作CN∥AM交MO的延長線于點N．

求證：四邊形AMCN是菱形

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：因為四邊形ABCD為矩形． 所以AC=BD，AO=BO=CO=DO． 因為∠A0D=120°，所以∠AOB=60°， 所以△AOB為等邊三角形． 所以AO=AB=6cm，所以AC=2AO=12cm． (2)證明：由AM∥CN，OA=OC，∠AOM=∠CON，得△AOM和△CON關于O點中心對稱，所以AM=CN．又因AM∥CN，所以四邊形AMCN是平行四邊形，又在Rt△ABD中，AM是斜邊BD上的中線，即得．同理可得，故AM=CM，所以平行四邊形AMCN是菱形．

提示：

(1)矩形的兩條對角線的夾角為60°，則矩形被對角線分成的四個三角形中有兩個是等邊三角形． 矩形的對角線把矩形分成了四個等腰三角形． (2)要證AMCN是菱形，首先看適合哪一種判定方法，題中已給出CN∥AM，而O又是AC的中點，得△AOM和△CON關于O點中心對稱，得AM=CN，即四邊形AMCN是平行四邊形．再證一組鄰邊相等是問題的關鍵，而AM、CM分別是Rt△ABD和Rt△BCD斜邊BD上的中線，所以，問題即可證明． 應注意到四邊形ABCD是由兩個有公共斜邊BD的直角三角形組成的．且AM、CM是它們公共斜邊BD上的中線，因此AM=CM．