Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，將矩形的一個(gè)角沿直線 折疊，使得點(diǎn) 落在對(duì)角線 上的點(diǎn) 處，折痕與 軸交于點(diǎn) .

（1）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn) 在線段上，在線段 上是否存在點(diǎn) ，使以 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=2x-10；（2）存在點(diǎn)，Q（，）， 使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)及OA，AB的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出OB的長(zhǎng)，設(shè)AD=a，則DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4，利用勾股定理可求出a值，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）先假設(shè)存在點(diǎn)P 滿足條件，過E作 交BC于P作，交BD 于Q點(diǎn)，這樣得到點(diǎn)Q，四邊形 即為所求平行四邊形，過E作 得 ， 可得E點(diǎn)坐標(biāo)， 根據(jù)點(diǎn)B、E坐標(biāo)求出直線BD的解析式， 又 根據(jù)平行的直線，k值相等，求出PE解析式， 再求點(diǎn)出P坐標(biāo)，從而求解.

（1）由題意，得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），OA=8，AB=OC=6，
∴OB= =10．
設(shè)AD=a，則DE=a，OD=8-a，OE=OB-BE=10-6=4．
∵OD2=OE2+DE2，即（8-a）2=42+a2，
∴a=3，
∴OD=5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）．
設(shè)直線BD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將B（8，6），D（5，0）代入y=kx+b，得：

解得： ∴直線BD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=2x-10．

（2）如圖2，假設(shè)在線段 上存在點(diǎn)P 使 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，過E作 交BC于P，過點(diǎn)P作，交BD 于Q點(diǎn)，四邊形 即為所求平行四邊形，過E作 得 ，，

，

直線 ，

又 ， ，

，在線段上存在點(diǎn)P（5，6），

使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∵，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，2m-10），四邊形DEPQ為平行四邊形，

D（5，0），，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，
∴6-（2m-10）=-0，解得：m=，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．
∴存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．