Question

11．已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出圖形：
①延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=BC；
②延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E，使AE=2CA；
③連接AD，BE．
（2）猜想（1）中線段AD與BE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（1）完成作圖
（2）AD與BE的大小關(guān)系是AD=BE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形即可；
（2）在AE上截取AF=AC，連結(jié)BF，根據(jù)全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖：；

（2）AD=BE，
理由是：在AE上截取AF=AC，連結(jié)BF，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°-90°=90°，
∴∠BAC=∠BAF，
在△ABF與△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}AB=AB\\∠BAF=∠BAC\\ AF=AC\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF=BC，AF=AC，∠BCA=∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA=180°，∠BCA+∠DCA=180°，
∴∠BFE=∠DCA，
∵BC=DC，BC=BF，
∴BF=DC，
∵AC=AF，AE=2AC=AF+EF，
∴EF=AC=AF，
在△BFE和△DCA中
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DC}\\{∠BFE=∠DCA}\\{FE=CA}\end{array}\right.$
∴△BFE≌△DCA，
∴AD=BE，
故答案為：AD=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，有一定的難度．