Question

如圖1，由直角三角形邊角關系，可將三角形面積公式變形，
即：S△ABC=

1

2

AB×CD，
在Rt△ACD中，∵sinA=

CD

AC

，
∴CD=bsinA
∴S△ABC=

1

2

bc×sin∠A．①
即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦之積的一半．
如圖2，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC，由公式①，得

1

2

AC×BC×sin(α+β)=

1

2

AC×CD×sinα+

1

2

BC×CD×sinβ，
即AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ．②
請你利用直角三角形邊角關系，消去②中的AC、BC、CD，只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函數表示（直接寫出結果）．
（1）

sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ

（2）利用這個結果計算：sin75°=

6 +  2

4

．

Answer 1

分析：（1）將②式左右兩邊同時除以AC×BC，變形后等式右邊第一項根據利用余弦函數定義表示出cosβ，第二項利用余弦函數定義表示出cosα，即可得到所求的式子；
（2）將所求式子中的角75°變?yōu)?5°+30°，由（1）得到的關系式變形，再利用特殊角的三角函數值計算，即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ACD中，cosα=

CD

AC

，在Rt△BCD中，cosβ=

CD

BC

，
∴AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ左右兩邊同時除以AC×BC得：
sin（α+β）=

CD

BC

×sinα+

CD

AC

×sinβ，
則sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；

（2）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 +  2

4

．
故答案為：（1）sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；（2）

6 +  2

4

點評：此題考查了解三角形的問題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，以及等式的基本性質，弄清閱讀材料中的信息是解本題的關鍵．