Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=32，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）從運(yùn)動(dòng)開始，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)，PQ=CD？
（2）從運(yùn)動(dòng)開始，是否存在某個(gè)時(shí)間，使得四邊形ABQP恰好為正方形？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),直角梯形

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）分兩種情況：①PQ∥DC，且PQ=DC；②PQ與DC不平行，但PQ=CD；
（2）假設(shè)存在某個(gè)時(shí)間，使得四邊形ABQP恰好為正方形，那么AP=BQ，據(jù)此列出方程．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到P₁D=Q₁C，P₁D平行且等于Q₁C，
此時(shí)四邊形P₁DCQ₁是平行四邊形，此時(shí)P₁Q₁=CD．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP₁=t，P₁D=24-t，CQ₁=3t，BQ₁=32-3t，
∵P₁D=CQ₁，
∴24-t=3t，
解得t=6，
即t=6時(shí)，P₁Q₁=CD；
②當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到P₂，Q₂時(shí)，過D，P₂分別作DH⊥BC于H，P₂G⊥BC于G，
當(dāng)Q₂G=HC=8時(shí)，△P₂Q₂G≌△DCH，此時(shí)P₂Q₂=CD．
∵CQ₂=CH+HG+GQ₂=CH+DP₂+GQ₂，
∴3t=8+（24-t）+8，
解得t=10．
綜上所述，從運(yùn)動(dòng)開始，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)6秒或10秒時(shí)，PQ=CD；

（2）假設(shè)存在某個(gè)時(shí)間，使得四邊形ABQP恰好為正方形．
如圖．∵∠B=90°，AD∥BC，
∴當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP為矩形，
即t=32-3t，解得t=8，
此時(shí)AP=AB=8，
∴矩形ABQP為正方形，
所以當(dāng)t=8時(shí)，四邊形ABQP是正方形．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度適中．