Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，過(guò)D作AC∥DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且CD²=AC•DE
（1）求證：∠DAC=∠DCE；
（2）若AD²=AB•AD+AC•DE，求證：∠ACD=90°．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）證明∠ACD=∠CDE，

CD

AC

=

DE

CD

，得到△ACD∽△CDE，即可解決問(wèn)題．
（2）證明∠ACB=∠ADC，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；結(jié)合∠B=∠ACD，得到△ABC∽△ACD，進(jìn)而證明AC²=AD•AB，結(jié)合已知條件證明AD²=AC²+CD²，即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）如圖，∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE；
又∵CD²=AC•DE，
∴

CD

AC

=

DE

CD

；
∴△ACD∽△CDE，
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵△ACD∽△CDE，
∴∠ADC=∠E；
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠ADC；
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∴AC²=AD•AB，
∵AD²=AB•AD+AC•DE，CD²=AC•DE，
∴AD²=AC²+CD²，
∴∠ACD=90°．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握判定定理及性質(zhì)定理是靈活解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．