Question

（2009•衢州）如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)．
求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；
（2）PA=PQ．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠根據(jù)矩形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可證明得到∠PBA=∠PCQ=30°．
（2）由第一步求得∠PBA=∠PCQ．由等邊三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得到AB=CQ，PB=PC，利用SAS判定△PAB≌△PQC，從而得到PA=PQ．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形．
∴∠ABC=∠BCD=90°．（1分）
∵△PBC和△QCD是等邊三角形．
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．（1分）
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，（1分）
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．
∴∠PBA=∠PCQ=30°．（1分）

（2）∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC．（1分）
∴△PAB≌△PQC．（2分）
∴PA=PQ．（1分）
點評：此題考查學生對矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及等邊三角形的性質(zhì)等的綜合運用．