在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,AE平分∠CAB分別交CD,CB于F,E,過點(diǎn)F作FH∥BC交AB于H,F(xiàn)G∥AB交BC于G.
(1)求證:CF=CE;
(2)試探究線段CE與BG有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.

解:(1)證明如下:
∵∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,
∴∠CAE+∠CEA=90°,∠FAD+∠AFD=90°,
∵AE平分∠CAB,
∴∠AFD=∠AEC,
又∵∠AFD=∠CFE(對(duì)頂角相等),
∴∠CFE=∠CEF,
∴CF=CE.

(2)CE=BG.證明如下:
∵FH∥BC,F(xiàn)G∥AB,∴BGFH是平行四邊形,則BG=FH①,
∵∠AFC=∠FCE+∠CEF,∠AFH=∠AFD+∠DFH,
又∵∠CFE=∠CEF=∠AFD(第一問已證),∠FCE=∠DFH(兩直線平行,同位角相等),
∴∠AFC=∠AFH,
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAF=∠FAH,
在△CFA和△HFA中,
,
∴△CFA≌△HFA(AAS),
∴CF=HF,②
由①②和(1)中的結(jié)論,可得CE=BG.
分析:(1)要得到CE=CF證明∠CFE=∠CEF即可,據(jù)已知條件∠CAE+∠CEA=90°,∠FAD+∠AFD=90°,因?yàn)锳E平分∠CAB,所以∠AFD=∠AEC;因?yàn)椤螦FD=∠CFE,即可得∠CFE=∠CEF,即得結(jié)論CF=CE.
(2)由條件可知BGFH是平行四邊形,則BG=FH,如能證得△CFA≌△HFA,能得到CF=HF,利用(1)中結(jié)論,即可得CE=BG.尋找證得△CFA≌△HFA的條件即可得解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查全等三角形的判定,涉及到直角三角形,等腰三角形、平行線等的性質(zhì),是一道綜合性題目,比較復(fù)雜.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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