Question

已知直線與軸交于點，與軸交于點，將三角形繞點順時針旋轉90°，使點落在點，點落在點，拋物線過點、、，其對稱軸與直線交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求的正切值；

（3）點在軸上，且△與△相似，求點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）或（，0）

【解析】解：（1）由題意得，

∵△旋轉至△，∴，               2分

∵過點、、，

∴，

∴，即拋物線是            2分

解：（2）設對稱軸與軸交點為．

∵//軸，

∴∠ =∠

∵拋物線的對稱軸為直線                             1分

∴                                              1分

∴，，在Rt△中，==

∴                                            2分

 

解：（3）∵點在軸上，且△與△相似，

∴點必在點的右側

∵∠=∠，

∴或,                                  2分

即或，

∴或

∴或（，0）                                     1分

（1）先求出點A、B的坐標，再根據旋轉的性質求出點C、D的坐標，然后利用待定系數法求拋物線解析式即可；

（2）根據拋物線解析式求出對稱軸解析式，然后求出點P的坐標，過點P作PQ⊥x軸，則PQ∥y軸，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用點P的坐標，根據銳角的正切值的定義列式計算即可得解；

（3）根據點M在x軸上，且△ABM與△APD相似可知，點M一定在點A的右側，然后求出AP、AB、AD的長度，因為對應邊不明確，所以分①AP和AB是對應邊，②AP和AM是對應邊，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出AM的長度，再根據點A的坐標求解即可．