Question

如圖，AB=12cm，點(diǎn)O自A點(diǎn)以每秒2.5cm的速度沿射線AB方向移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E自B點(diǎn)以每秒1cm的速度沿線段BA向A點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，O、E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知∠BAM=45°，EF⊥AB交射線AM于點(diǎn)F，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與射線AB、AF分別交于D、C兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）求證：當(dāng)t=2時(shí)，⊙O與EF相切；
（2）當(dāng)t＞2時(shí)，若△DEF的面積為48cm²，求t的值；
（3）在點(diǎn)O、E的運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF的面積是否存在最大值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,解一元二次方程-因式分解法,二次函數(shù)的最值,切線的判定

專題：綜合題

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，可以證到點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，由EF⊥AB就可得到⊙O與EF相切．
（2）只需用t的代數(shù)式表示出DE、EF的長(zhǎng)，再根據(jù)條件（△DEF的面積為48cm²）建立關(guān)于t的方程，就可求出t的值．
（3）由于DE的表示與t的范圍有關(guān)，因此需分情況討論，可分三種情況（①0＜t＜2，②t=2，③2＜t≤12），用t的代數(shù)式表示出△DEF的面積，然后運(yùn)用二次函數(shù)的增減性和最值性就可解決問題．

解答：解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，AD=2OA=2×2.5×2=10，BE=1×2=2，AE=AB-BE=12-2=10，
則AE=AD，即點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，如圖1，

∵EF⊥OD，且EF經(jīng)過OD的外端D（E），
∴⊙O與EF相切．

（2）當(dāng)t＞2時(shí)，如圖2，

由題可得：AD=2OA=2×2.5t=5t，BE=t，AE=AB-BE=12-t，
則DE=AD-AE=5t-（12-t）=6t-12．
∵EF⊥AD，∠EAF=45°，
∴∠EFA=45°=∠EAF．
∴EF=EA=12-t．
∵S_△DEF=

1

2

×DE×EF，
∴

1

2

×（6t-12）×（12-t）=48．
整理得：t²-14t+40=0，
解得：t₁=4，t₂=10．
∴t的值為4或10．

（3）①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖3，

則有EF=AE=AB-BE=12-t，AD=5t，DE=AE-AD=（12-t）-5t=12-6t．
∴S_△DEF=

1

2

×DE×EF=

1

2

×（12-6t）×（12-t）=3t²-42t+72
=3（t-7）²-75．
∵3＞0，
∴t＜7時(shí)，S_△DEF隨著t的增大而減�。�
∵當(dāng)t=0時(shí)，S_△DEF=72，當(dāng)t=2時(shí)，S_△DEF=0，
∴0＜S_△DEF＜72．
∴S_△DEF取不到最大值．
②當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，
所以△DEF不存在，故舍去．
③當(dāng)2＜t≤12時(shí)，如圖2，

同理可得：S_△DEF=

1

2

×（6t-12）×（12-t）=-3t²+42t-72
=-3（t-7）²+75．
∵-3＜0，2＜7≤12，
∴當(dāng)t=7時(shí)，S_△DEF取最大值，最大值為75．
綜上所述：當(dāng)t=7時(shí)，△DEF的面積取到最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、二次函數(shù)的增減性、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識(shí)，還考查了分類討論的思想．