Question

12．如圖．AB是⊙O的直徑．C是⊙O上的一點(diǎn)．直線CE與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，已AD⊥CE，垂足為D．AD交⊙O于點(diǎn)F，AC平分∠DAE．
（1）證明：CE是⊙O的切線；
（2）連接FB交AC于H．若AB=6．AC=5，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠CAO，∠OCA=∠CAO，推出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接BC，證得△ADC∽△ACB，得出AD=$\frac{25}{6}$，根據(jù)勾股定理求得BC=$\sqrt{11}$，設(shè)OC與BF的交點(diǎn)為G，證得四邊形DCGF是矩形，然后根據(jù)勾股定理得出OB²-OG²=BC²-CG²，即3²-（3-x）²=（$\sqrt{11}$）²-x²，求得DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AF的長(zhǎng)，最后根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$，即$\frac{AH}{5}$=$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{25}{6}}$，即可求得AH的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC為半徑，
CE是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{25}{6}$，
∵AD⊥BD，OC⊥BD，∠AFB=90°，
設(shè)OC與BF的交點(diǎn)為G，
∴四邊形DCGF是矩形，
∴DF=CG，BF∥DC，
∴OC⊥BF，
設(shè)GC=x，則OG=3-x，
∴OB²-OG²=BC²-CG²，即3²-（3-x）²=（$\sqrt{11}$）²-x²，
解得x=$\frac{11}{6}$，
∴DF=CG=$\frac{11}{6}$，
∴AF=AD-DF=$\frac{25}{6}$-$\frac{11}{6}$=$\frac{7}{3}$，
∵BF∥DE，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$，即$\frac{AH}{5}$=$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{25}{6}}$，
∴AH=$\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，矩形的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．