Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且OB=，∠OBA=90°．以邊OB所在直線(xiàn)折疊Rt△OAB，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處．
（1）求證：△OAC為等邊三角形；
（2）點(diǎn)D在x軸的正半軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0）．點(diǎn)P為線(xiàn)段OC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合），連接PA、PD．設(shè)PC=x，△PAD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x=時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD于點(diǎn)M，若k=，求證：二次函數(shù)y=-2x²-（7k-3）x+k的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵OA=2，OB=，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折疊可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC為等邊三角形；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，以AD為底，PE為高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，從而可表示面積；
（3）當(dāng)x=時(shí)，可求線(xiàn)段PE、OE、ED及△PAD的面積，用勾股定理可求PD的長(zhǎng)，用面積法可求AM長(zhǎng)，從而可求k值，就能確定拋物線(xiàn)解析式了，也就能回答問(wèn)題了．
解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=，A的坐標(biāo)為（2，0）
∴sin∠OAB=
∴∠OAB=60°
∴△OAC為等邊三角形；

（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°
∵PC=x，
∴OP=2-x
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，在Rt△POE中，sin∠POE=
即
∴PE=（2-x）=-x+
∴S_△PAD=AD•PE=（4-2）•PE=PE
∴y=-x+；

（3）證明：當(dāng)x=時(shí)，即PC=
∴OP=
在Rt△POE中，PE=OP•sin∠POE=
OE=OP•cos∠POE=
∴DE=OD-OE=4-=
∴在Rt△PDE中，PD=
又∵S_△PAD=-x+=-•+=
∴S_△PAD=PD•AM=
∴AM=，
∴k==
∴y=-2x²-（7k-3）x+k=-2x²-（7×-3）x+×
∴y=-2x²+
∵此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=0，
∴此二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等邊三角形、函數(shù)解析式、三角形面積、二次函數(shù)圖象的有關(guān)知識(shí)，屬于動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線(xiàn)相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)變化題目，由淺入深地設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題，是一道綜合性題目，有一定難度．