Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設運動的時間為t秒（t≥0）．

（1）當?shù)冗?/span>△EFG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；

（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；

（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝1；（2）詳見解析；（3）當t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0時，△AOH是等腰三角形．

【解析】

（1）當邊FG恰好經(jīng)過點C時，由∠CFB＝60°得BF＝3﹣t，在Rt△CBF中，根據(jù)三角函數(shù)求得t的值；

（2）根據(jù)運動的時間為t不同的取值范圍，求等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S的值，當0≤t＜1時，重疊部分是直角梯形，面積S等于梯形的面積，

當1≤t＜3時，重疊部分是S梯形MKFE﹣S△QBF，當3≤t＜4時，重疊部分是S梯形MKFE，當4≤t＜6時，重疊部分是正三角形的面積；

（3）當AH＝AO＝3時，AM＝ AH＝ ，在Rt△AME中，由cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，得AE＝ ，即3﹣t＝或t﹣3＝，求出t＝3﹣或t＝3+；

當AH＝HO時，∠HOA＝∠HAO＝30°，又因為∠HEO＝60°得到∠EHO＝90°EO＝2HE＝2AE，再由AE+2AE＝3，求出AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，求出t＝2或t＝4；

當OH＝OA＝時∠HOB＝∠OAH＝30°，所以∠HOB＝60°＝∠HEB，得到點E和點O重合，從而求出t的值

如圖1（1），當邊FG恰好經(jīng)過點C時，

∵∠CFB＝60°，

∴BF＝3﹣t，

在Rt△CBF中，

∵BC＝2，tan∠CFB＝，

∴tan60＝ ，

解得BF＝2，即3﹣t＝2，

∴t＝1，

當邊FG恰好經(jīng)過點C時，t＝1；

（2）如圖2，過點M作MN⊥AB于N，

當0≤t＜1時，

∵tan60°＝，

∴EN＝2，

∵EB＝3+t，NB＝3+t﹣2＝1+t，

∴MC＝1+t，

∴S＝ （MC+EB）BC＝2t+4；

如圖3，當1≤t＜3時，

∵MN＝2 EF＝OP＝6，

GH＝6× ＝3，

∴，

∴MK＝2，

∵EB＝3+t，BF＝3﹣t，BQ＝t﹣，

∴S＝S梯形MKFE﹣S△QBF＝﹣ t2+3t+ ；

如圖4，當3≤t＜4時，

∵MN＝2，EF＝6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，

∴GH＝（12﹣2t）×＝6﹣t，∴，

∴MK＝8﹣2t，

∴S＝﹣4t+20；

當4≤t＜6時，

∵EF＝12﹣2t，

∴高為：EFsin60°＝EF，

∴S＝t2﹣12t+36；

（3）存在．

在Rt△ABC中，tan ，∴∠CAB＝30°

∵∠HEO＝60°，

∴∠HAE＝∠AHE 30°，

∴AE＝HE＝3﹣t或t﹣3，

如圖5，當AH＝AO＝3時，

過點E作EM⊥AH與M，

則AM＝ AH＝ ，

在Rt△AME中，

cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，

∴AE，

即3﹣t＝或t﹣3＝；

∴t＝3﹣或t＝3+；

如圖6，當AH＝HO時，∠HOA＝∠HAO＝30°，

∵∠HEO＝60°，

∴∠EHO＝90°，EO＝2HE＝2AE，

∵AE+2AE＝3，

∴AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，

∴t＝2或t＝4；

如圖7，當OH＝OA＝時，

∠HOB＝∠OAH＝30°，

∴∠HOB＝60°＝∠HEB，

∴點E和點O重合，

∴AE＝AO＝3，

當E剛開始時，3﹣t＝3，

當E返回時t﹣3＝3，

∴t＝0，t＝6（舍去），

綜上所述當t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0時，△AOH是等腰三角形．