Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)M到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、P兩點(diǎn)，OP=4；
（1）請寫出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)A是拋物線上位于O、M之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當(dāng)BC=1時(shí)，求矩形ABCD的周長l；
②試問矩形ABCD的周長l是否存在最大值？如果存在，請求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（3）連接OM、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（除點(diǎn)P外），使得△OMQ也是等腰三角形，簡要說明你的理由（不必求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)）．

Answer 1

解：（1）∵OP=4，
∴OP=×4=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4），
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-2）²-4，把P（4，0）代入得，
a（4-2）²-4=0，
解得a=1，
所以，拋物線的解析式是y=（x-2）²-4=x²-4x，
即y=x²-4x；

（2）①∵點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸直線x=2對稱，
∴OB==，
把x=代入y=x²-4x得，y=（）²-4×=-，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-），
∴AB=|-|=，
∴矩形ABCD的周長l=2（1+）=；

②設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），其中0＜x＜2，
則AD=BC=4-2x，AB=DC=|y|=|x²-4x|=4x-x²，
則矩形ABCD的周長l=2（AD+AB）=2（4-2x+4x-x²）=-2x²+4x+8=-2（x-1）²+10，
則當(dāng)x=1時(shí)，l_最大值=10，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-3）；

（3）答：存在．
理由：作OM的中垂線一定能與拋物線相交，或以點(diǎn)O為圓心以O(shè)M為半徑畫弧能與拋物線相交，
交點(diǎn)即是所要找的Q點(diǎn)的位置．
分析：（1）根據(jù)OP的長度即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對稱性可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，然后即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式是y=a（x-2）²-4，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）①根據(jù)拋物線的對稱性求出OB的長度，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而得到AB的長度，再利用矩形的周長公式列式計(jì)算即可得解；
②設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)拋物線的解析式表示出AB的長，再根據(jù)矩形的周長公式列式得到l與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（3）從線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等和圓的半徑相等考慮解答．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的周長公式，二次函數(shù)的最值問題，以及等腰三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．