Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在第二象限，∠C=60°，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的圖象經(jīng)過點B．若菱形OABC的面積為2$\sqrt{3}$，則k的值為-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作BD⊥OA于D，由菱形的性質(zhì)得出AB=OA，∠A=∠C=60°，求出∠ABD=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA=AB=2AD，因此AD=OD=$\frac{1}{2}$OA，設(shè)AD=ODx，則OA=2x，BD=$\sqrt{3}$x，由菱形的面積得出方程，解方程求出點B的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1），即可求出k的值．

解答 解：作BD⊥OA于D，如圖所示：
∵四邊形OABC是菱形，
∴AB=OA，∠A=∠C=60°，
∴∠ABD=30°，
∴OA=AB=2AD，
∴AD=OD=$\frac{1}{2}$OA，
設(shè)AD=ODx，則O=2x，BD=AD×tan60°=$\sqrt{3}$x，
∵菱形OABC的面積為2$\sqrt{3}$，
∴2x•$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
解得：x=±1（負(fù)值舍去），
∴x=1，
∴OD=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴點B的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1），
把點B（-$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）得：k=-$\sqrt{3}$；
故答案為：-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由菱形的面積求出點B的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．