Question

（2013•普陀區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA．則：
（1）當(dāng)t=

2秒或3秒

時(shí)，△DPA為直角三角形；
（2）點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線總長(zhǎng)為

2

5

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解，
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，CO的中點(diǎn)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₁，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CA中點(diǎn)繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₂，求出直線D₁D₂的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)D在直線D₁D₂上，即D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是一條線段，起點(diǎn)是D₁（1，0），終點(diǎn)是D₂（5，2），利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設(shè)CP的中點(diǎn)為F，
則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

t

2

，1），
∴將線段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（t+1，

t

2

）；
①當(dāng)∠PDA=90°時(shí)，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在AB上，

∵∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠DPA=90°，
∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠OPC，
又∵∠COP=∠PAD，
∴△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△DPA能成為直角三角形．
故答案為：2秒或3秒；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，CO的中點(diǎn)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₁，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CA中點(diǎn)繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₂，
，
∵OA=4，OC=2，則D₁（1，0），D₂（5，2），
設(shè)直線D₁D₂的解析式為y=kx+b，所以

k+b=0 5k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=- 1 2

，
∴直線D₁D₂的解析式為y=

1

2

x-

1

2

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入到解析式中，y=

1

2

×（t+1）-

1

2

=

1

2

t，
∴點(diǎn)D在直線D₁D₂上，即D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是一條線段，起點(diǎn)是D₁（1，0），終點(diǎn)是D₂（5，2），
∴D₁D₂=

42+22

=2

5

，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為：2

5

．
故答案為：2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及幾何變換綜合題，是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，結(jié)合了函數(shù)、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，具有一定的綜合性．