在正2004邊形A1A2…A2004各頂點(diǎn)上隨意填上1,2,…501中的一個(gè)數(shù).試證明:一定存在四個(gè)頂點(diǎn)滿足如下條件:
(1)這四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形;
(2)此四邊形相對(duì)兩頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等.
證明:(1)由題意知,頂點(diǎn)A1與Ai=1002為一組關(guān)于中心對(duì)稱的點(diǎn),其中i=1,2,…1002.
則2004個(gè)頂點(diǎn)可分為1002組,
順次連接每?jī)山M的頂點(diǎn),均可得到一個(gè)四邊形,
由于對(duì)角線互相平分且相等,
所以,得到的四邊形是矩形.

(2)由題意,設(shè)在頂點(diǎn)A1上所填的數(shù)為a1,則
2≤a1+ai=1002≤501×2,
即2到1002共有1001個(gè)不同的數(shù),
又1002組有1002個(gè)數(shù),由抽屜原則知,至少有兩組頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等,
則此兩組頂點(diǎn)即為所求的四個(gè)頂點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、在正2004邊形A1A2…A2004各頂點(diǎn)上隨意填上1,2,…501中的一個(gè)數(shù).試證明:一定存在四個(gè)頂點(diǎn)滿足如下條件:
(1)這四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形;
(2)此四邊形相對(duì)兩頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

知識(shí)回顧:
(1)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn),我們把△DEF稱為△ABC的中點(diǎn)三角形.則S△DEF:S△ABC=
 

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點(diǎn)四邊形,此時(shí)四邊形EFGH的形狀是
 
,S四邊形EFGH:S四邊形ABCD=
 
;
(3)實(shí)踐探究:
如圖3,在正五邊形ABCDE中,若點(diǎn)F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點(diǎn),則中點(diǎn)五邊形FGHMN的形狀是
 
;若正五邊形ABCDE的中心為點(diǎn)O,連接OE、ON,求S五邊形FGHMN:S五邊形ABCDE的值.
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(4)拓展歸納:
在正n邊形A1A2 …An中,若點(diǎn)B1、B2 …Bn分別是邊A1A2、A2A3、…、AnA1的中點(diǎn),則中點(diǎn)n邊形B1B2 …Bn的面積與正n邊形A1A2 …An的面積之比為Sn邊形B1B2BnSn邊形A1A2An=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

知識(shí)回顧:
(1)如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn),我們把△DEF稱為△ABC的中點(diǎn)三角形.則S△DEF:S△ABC=________;
(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點(diǎn)四邊形,此時(shí)四邊形EFGH的形狀是________,S四邊形EFGH:S四邊形ABCD=________;
(3)實(shí)踐探究:
如圖3,在正五邊形ABCDE中,若點(diǎn)F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點(diǎn),則中點(diǎn)五邊形FGHMN的形狀是________;若正五邊形ABCDE的中心為點(diǎn)O,連接OE、ON,求S五邊形FGHMN:S五邊形ABCDE的值.

(4)拓展歸納:
在正n邊形A1A2 …An中,若點(diǎn)B1、B2 …Bn分別是邊A1A2、A2A3、…、AnA1的中點(diǎn),則中點(diǎn)n邊形B1B2 …Bn的面積與正n邊形A1A2 …An的面積之比為數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式=________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在正2004邊形A1A2…A2004各頂點(diǎn)上隨意填上1,2,…501中的一個(gè)數(shù).試證明:一定存在四個(gè)頂點(diǎn)滿足如下條件:
(1)這四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形;
(2)此四邊形相對(duì)兩頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等.

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