Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以AB為直徑作半圓O交BC于點D，過點D的切線交AC于點E，BE交⊙O于點F，AF的延長線與DE相交于點P．若OA=l，則EB=$\sqrt{7}$，PE=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 （1）根據條件求出AC，證明AE=EC，在RT△AEB中可以解決問題．
（2）如圖過點D作MN⊥AB，交AP的延長線于N，由DN∥AE得$\frac{PE}{PD}$=$\frac{AE}{DN}$，求出DN就可以了．

解答 解：①連接OD，
∵∠C=30°，∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵BA⊥AC，
∴AE是⊙O的切線，
∵ED是⊙O的切線，
∴AE=DE，∠AED=60°，
∵∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠CDE=30°，
∴CE=DE，
∵OA=1，
∴AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AE=EC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
②如圖過點D作MN⊥AB，交AP的延長線于N，連接AD．
在RT△ABC中，∵∠C=30°，AB=2
∴BC=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{1}{2}$•AB•AC，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠CAD=60°，∠DAM=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠FAB+∠ABE=90°，∠AEB+∠B=90°，
∴∠AEB=∠MAN，
∵∠AMN=∠EAB，
∴△AMN∽△EAB，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{AM}{AE}$，
∴$\frac{MN}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$，
∴MN=3，DN=MN-DM=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DN∥AE，
∴$\frac{DN}{AE}$=$\frac{PD}{PE}$，
∴$\frac{3-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-PE}{PE}$，
∴PE=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

點評 本題考查了切線長定理、切線的性質、勾股定理、平行成比例等知識，利用平行成比例添加輔助線是解決問題的關鍵．