Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F，若△ABE是以AB為腰的等腰三角形，則CF=

 

．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,勾股定理

專題：

分析：首先理解題意，得出此題應該分兩種情況進行分析，分別是AB=AE，AB=BE，從而得到最后答案．

解答：解：如圖1，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N．

根據(jù)已知條件可得，BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=

BM

AB

，
則AB=（BC-AD）÷2÷cosB=

2

．
①當AB=AE′時，如，2，

∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=

2

，
則在Rt△ABE′中，BE′=

2

AB=2，
故E′C=3-2=1．
易得△FE′C為等腰直角三角形，
故CF=

2

E′C=

2

；
②當AB=BE″時，如圖3，

∵AB=

2

，
∴BE″=

2

，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF為等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=3-

2

；
綜上所述，CF的長為

2

或3-

2

．
故答案為：

2

或3-

2

．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質和判定，等腰梯形的性質，勾股定理，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能求出CE的長是解此題的關鍵．