Question

4．已知：如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)，然后解直角三角形求得等邊三角形的邊長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，
連接EP，過A作AD⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于D，如圖，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE²=PE²+PA²，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{3}{2}$，PD=AP•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
則BD=PB+PD=4+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=25+12$\sqrt{3}$，
過A作AF⊥BC于F，則AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=9+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是勾股定理的應(yīng)用和證明∠APE=90°．