Question

如圖，已知直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是　（0，3）　線段AD的長等于　4　；

（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）首先求出圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AD的長；

（2）首先得出點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時以及當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．

解答：

解：（1）∵直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴y=0時，x=﹣3，x=0時，y=1，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），

∴OC=3，DO=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長等于4；

（2）∵CM=OM，

∴∠OCM=∠COM．

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，

∴∠ODM=∠MOD，

∴OM=MD=CM，

∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

（說明：由CM=OM得到點(diǎn)M在OC在垂直平分線上，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，再求出直線CD的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)也可．）

∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C，M，

∴，

解得：．

∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：y=x²﹣x+3．

（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時，四邊形CFEP為菱形．

∴∠FCE=PCE，

由題意可知，OA=OC，

∴∠ACO=∠PCE=45°，

∴∠FCP=90°，

∴菱形CFEP為正方形．

過點(diǎn)P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形．

∴CP=CH=PH．

設(shè)點(diǎn)P為（x，x²﹣x+3），則OH=x²﹣x+3，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，

∴3﹣（x²﹣x+3）=x，

解得：x=

∴CP=CH=×=，

∴菱形CFEP的周長l為：×4=10．

情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時，四邊形CFPE為菱形．

∴CF=PF，CE∥FP．

∵直線AC過點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

過點(diǎn)C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM．

延長PF交x軸于點(diǎn)N，

則PN⊥x軸，∴PF=FN﹣PN，

設(shè)點(diǎn)P為（x，x²﹣x+3），則點(diǎn)F為（x，x+3），

∴FC=x，F(xiàn)P=（x+3）﹣（x²﹣x+3）=﹣x²+x，

∴x=﹣x²+x，

解得：x=﹣，

∴FC=x=﹣2，

∴菱形CFEP的周長l為：（﹣2）×4=18﹣8．

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為10或18﹣8．

點(diǎn)評：

此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及菱形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．