Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；
（2）如圖2，若AB=2，過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G，求證：△GEF是等腰直角三角形
（3）如圖3，若AB=，過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．
①直接寫出線段AE長度的取值范圍；
②判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）由△AEM≌△DFM可證得（2）關鍵是證GE=GF，再證有個角是直角。
（3）①＜AE≤． ②△GEF是等邊三角形

解析試題分析：解：（1）證明：如圖1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵M是AD的中點，∴AM=DM，
∴△AEM≌△DFM（ASA）．
∴AE=DF．           2分
（2）證明：如圖2，過點G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四邊ABGH為矩形，
∴∠AME+∠AEM=90°，
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°
∴∠AEM=∠GMH．
∵AD=4，M是AD的中點
∴AM=2
∵四邊ABGH為矩形，
∴AB=HG=2
∴AM=HG
∴△AEM≌△HMG（AAS）．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．           5分
（3 ）①當C、G重合時，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMC=90°，
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE=
當E、B重合時，AE最長為，
∴＜AE≤．        7分（注：此小問只需直接寫出結果即可）
②如圖3，△GEF是等邊三角形．

證明：過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
又∵∠A=∠GHM=90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．
在Rt△GME中，
∴tan∠MEG==．
∴∠MEG=60°．
　由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，  ∴GE=GF．
∴△GEF是等邊三角形．           9分
考點：矩形的性質、三角形的全等與相似、等腰直角三角形、等邊三角形、特殊三角函數值
點評：此題比較綜合，四邊形的相關性質和定理一般都由三角形性質和定理得來，故在解四邊形時，通常會結合三角形的性質與定理幫助解題，難度適中。