Question

9．如圖所示，∠ABC與∠ACB的內角平分線交于點O，∠ABC的內角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D，∠ABC與∠ACB的相鄰外角平分線交于點E，且∠A=60°，則∠BOC=120°，∠D=30°，∠E=60°．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義有∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，根據(jù)三角形內角和定理得2∠2+2∠1+∠A=180°，即有∠2+∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠A，再根據(jù)三角形內角和定理得到∠2+∠1+∠BOC=180°，于是有∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得到∠BOC的度數(shù)，三角形外角的性質有∠FCD=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，則2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，即可得到∠D=$\frac{1}{2}$∠A，于是得到∠D，然后根據(jù)三角形的內角和即可得到結論．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠A=50°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相鄰外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案為：120°，30°60°．

點評 本題考查了角平分線定義，三角形內角和定理的應用，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．